Zadania dla studentów z granic ciągów i funkcji

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=-8n^3+5n^2-7$
2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=(5-3n^2)(4n^3+2)$
3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=(3n^2-1)^5(-n^3+2n)^4$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{-6n^3+2n^2}{3n^3-9n}$
2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{(2n^4-3)(3n^2+1)}{(n^3+2n)^2}$
3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{7^n-2\cdot 4^{n+1}}{7^{n+2}+4^n}$
4. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{6\cdot 9^{3n}-2}{2\cdot 27^{2n}+6}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\sqrt{3n-6}-\sqrt{2n}$
2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\sqrt[3]{3n^6+2n^3}-n^2$
3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\sqrt{n^2+6n+9}-\sqrt{n^2-1}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{3\cdot \cos{(n^2+1)}}{n^2+1}$
2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{n\cdot \sin(n!)}{5n^2+3n}$
3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\sqrt[n]{3^n+4^{n+1}+6\cdot 5^n}$
4. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\sqrt[n]{(\frac{2}{7})^n+(\frac{3}{4})^n+(\frac{7}{8})^n}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n+1}$
2. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\left(1-\frac{5}{2n+3} \right)^{4n+1}$
3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\left(\frac{3n^2+2n-1}{3n^2+4n+5} \right)^{5n^2-3n+1}$
4. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=\left(\frac{n^3+2n^2+1}{n^3+5n} \right)^{2n+4}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to +\infty} \left(3x^3-4x+1\right)$
2. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^4-5x^2+7}{4x^4+x-3}$
3. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^5+2x^2-1}{(x-3)(x^2+1)(5-x)^4}$
4. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x+2}{x-1} \right)^{2x+1}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4x+4}{2x^3-16}$
2. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{5-x}}{x+4}$
3. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -1} \frac{x^3+x+2}{x^2-6x-7}$
4. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 3} e^{\frac{x^2-9}{2x-6}}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 1^+} \frac{-3x+2}{x^2-1}$
2. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 2^-} \frac{1+x}{\frac{3}{x-2}+4x}$
3. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -3^+} \frac{\sqrt{x+3}}{x^2+2x-3}$
4. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 2^+} \ln{(x^2-4)}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 2} \frac{e^{2x-4}-1}{x^2-4}$
2. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 1} \frac{\ln{(2x-1)}}{x-1}$
3. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin(2x)}{x^3}$
4. Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to -1} \frac{\arcsin{(x+1)}}{x^2+x}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Zbadaj ciągłość funkcji: $f(x)= \left\{\begin{array}{lcl} \frac{x^2-4}{x-2} &\textrm{dla $x \neq 2$}\\ 3x-2&\textrm{dla $x =2$} \end{array} \right.$
2. Zbadaj ciągłość funkcji:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $f(x)= \left\{\begin{array}{lcl} \frac{x^2-9}{x^2-2x-3} &\textrm{dla $x \in (-\infty,-1)\cup (3,+\infty)$}\\ \frac{2x-3}{x-1}&\textrm{dla $x \in [-1,3]$} \end{array} \right.$
3. Zbadaj ciągłość funkcji:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $f(x)= \left\{\begin{array}{lcl} \frac{e^{x+1}-1}{x+1} &\textrm{dla $x \neq -1$}\\ \sin{\left( \frac{3 \pi x}{2}\right )} &\textrm{dla $x =-1$} \end{array} \right.$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij zbieżność ciągu: $a_n = \frac{3^n}{n!}$ dla $n \ge 1$.
2. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij zbieżność ciągu: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{12 + a_n}$. Wykaż, że $\lim_{n \to +\infty} a_n = 4$.

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)$
2. Oblicz:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $\lim_{n \to +\infty} \frac{1\cdot 2 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \dots + n\cdot 2^n}{n\cdot 2^n}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Wyznacz granicę dolną i górną ciągu: $a_n = \left(1 + \frac{2 \cdot (-1)^n}{n}\right)^n$
2. Wyznacz granicę dolną i górną ciągu: $a_n = \frac{[2 – \cos(n\pi)] \cdot \ln(n^3) + \ln(5n)}{\ln(n^2)}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{5n}{\sqrt{n^4+1}} + \frac{5n}{\sqrt{n^4+2}} + \dots + \frac{5n}{\sqrt{n^4+n}} \right)$
2. Oblicz: $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2+2\sqrt{n}} – \sqrt{n^2-2\sqrt{n}}}{\sqrt{n+3} – \sqrt{n}}$
3. Oblicz: $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{5n + \frac{(-1)^n}{n^2}}$
4. Oblicz:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{3^n}{(n+1)!} + \frac{3^n}{(n+2)!} + \dots + \frac{3^n}{(2n)!} \right)$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Na podstawie definicji granicy ciągu uzasadnij, że: $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n-1}{n+2} = 3$
2. Na podstawie definicji granicy ciągu uzasadnij, że: $\lim_{n \to +\infty} \log_3(2n – 1) = +\infty$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz: $\lim_{x \to 0} \frac{3^x – 2^x}{x}$
2. Oblicz: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3x)}{x \cdot \sin(2x)}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Oblicz: $\lim_{x \to 0} \frac{(e^{3x}-e^{-x})^2}{x^2 \cdot \cos^2(2x)}$
2. Oblicz: $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

Rozwiąż poniższe zadania:

1. Udowodnij z definicji Cauchy’ego oraz Heinego, że: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x}{x} = 3$
2. Udowodnij z definicji Heinego, że dana granica nie istnieje: $\lim_{x \to 2} \frac{|x-2|}{x-2}$