Zadania z liczb zespolonych: Baza na kolokwia i egzaminy
Cześć! Liczby zespolone to fascynujący i absolutnie kluczowy dział matematyki wyższej. Bez sprawnego operowania jednostką urojoną, postacią trygonometryczną czy wzorami Moivre’a, kolejne etapy studiów (zwłaszcza na kierunkach technicznych) mogą wydawać się czarną magią. Przygotowałam tu dla Ciebie bazę typowych zadań i akademickich pewniaków, które regularnie pojawiają się na kolokwiach i egzaminach. Koniec ze strachem przed ujemnym pierwiastkiem – czas poznać zasady gry i bezbłędnie rozwiązywać nawet najtrudniejsze równania wielomianowe oraz bezbłędnie rysować zbiory na płaszczyźnie zespolonej!
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym poleceniem ukryłam dla Ciebie ostateczną odpowiedź. Spróbuj rozwalić dany przykład całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem zweryfikuj swój wynik. To najszybszy test Twojej wiedzy przed kolokwium.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś przy wyznaczaniu argumentu głównego? Potęgowanie gigantycznych nawiasów uparcie się nie spina i nie masz pojęcia, dlaczego Twój wynik wylądował w złej ćwiartce układu współrzędnych? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online nie tylko rozwiązuję krok po kroku zadania z tej bazy, ale rozkładamy na czynniki pierwsze mnóstwo innych, kluczowych akademickich przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, potęgowanie, pierwiastkowanie i interpretacja geometryczna liczb zespolonych staną się dla Ciebie przysłowiową pestką.
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na studiach?
Podręczniki akademickie często przerażają ścianami trudnego, abstrakcyjnego tekstu i suchymi definicjami. Ale umówmy się – samo czytanie zawiłych symboli rzadko uczy rozwiązywania konkretnych problemów na egzaminie! U mnie nie ma miejsca na niezrozumiały żargon. Tłumaczę najbardziej zawiłe zagadnienia – w tym potężne wzory de Moivre’a – „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci pułapki wykładowców, podrzucę triki na ekspresowe obliczenia i odczaruję tę matmę raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, odzyskasz pewność siebie i zaliczysz sesję na totalnym luzie. Gotowy? Lecimy z tematem!
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
-
Dane są liczby zespolone $z_1 = -3 + 5i$, $z_2 = 7 – i$, oblicz wartość wyrażenia:
$W = (3z_1^2 – 2z_2^2 + 5z_1) \cdot (2z_1 – 4)$ - Oblicz: $(2 + 3i)^3 – (4 – 3i)^2 + (5 – i)(5 + i)$
Zad 1: $W = 1960 – 1220i$
Zad 2: Wynik to: $-27 + 33i$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Dzielenie liczb zespolonych, w tym pojęcie liczby sprzężonej
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Wyznacz liczbę sprzężoną do podanej: $\frac{3-2i}{(5-i)^2}$
- Oblicz moduł liczby zespolonej: $\frac{(5-i)(4+i)}{(7-i)(10-i)}$
Zad 1: $\bar{z} = \frac{46 + 9i}{338}$ (lub zapisując oddzielnie: $\frac{23}{169} + \frac{9}{338}i$)
Zad 2: $|z| = \frac{\sqrt{221}}{5\sqrt{101}}$ (co można zapisać też jako $\sqrt{\frac{221}{2525}}$)
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Wyznacz argument główny liczby zespolonej $z = -7\sqrt{3}i + 7$
- Wyznacz postać trygonometryczną liczby zespolonej $z = 10 – 10i$
Zad 1: Argument główny wynosi $\varphi = \frac{5\pi}{3}$
Zad 2: $z = 10\sqrt{2} \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} \right)$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Wzory Moivre’a do potęgowania i pierwiastkowania
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Wykonaj potęgowanie: $(1 + \sqrt{3}i)^5$
- Wykonaj pierwiastkowanie: $\sqrt[4]{-8 – 8i\sqrt{3}}$
Zad 1: Wynik potęgowania to: $16 – 16\sqrt{3}i$
Zad 2: Zbiór czterech pierwiastków:
$w_0 = 1 + \sqrt{3}i$
$w_1 = -\sqrt{3} + i$
$w_2 = -1 – \sqrt{3}i$
$w_3 = \sqrt{3} – i$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Rozwiązywanie równań wielomianowych w zbiorze liczb zespolonych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż równanie: $x^3 – 5x^2 + 9x – 5 = 0$
- Rozwiąż równanie: $x^4 + 5x^2 – 36 = 0$
Zad 1: Zbiór rozwiązań to: $x \in \{1, 2-i, 2+i\}$
Zad 2: Zbiór rozwiązań to: $x \in \{-2, 2, -3i, 3i\}$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Zaznaczanie punktów spełniających ograniczenia
(Sprawdź swoją wiedzę…)
-
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających podane warunki:
$|z| \le 3$ oraz $\frac{1}{2}\pi < \varphi \le \pi$ -
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających podane warunki:
$|z – 2| \le 3$ oraz $\frac{1}{2}\pi < \varphi < \pi$
Zad 1: Wynikiem jest wycinek koła w II ćwiartce układu współrzędnych (pamiętaj o odpowiednim zaznaczeniu brzegów!).
Zad 2: Szukany zbiór to część wspólna przesuniętego koła oraz II ćwiartki układu.
Wszystkie schematy rysowania zbiorów i interpretacji geometrycznej znajdziesz w lekcji na platformie:
Ćwiczenia z liczbami zespolonymi – rozwiązywanie równań
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż równanie: $(z – 1 + 2i)^3 = \left(\frac{3+i}{2-i}\right)^6$
- Rozwiąż równanie: $iz^2 + z(2 + i) – 2 – 2i = 0$
Zad 1: Równanie ma 3 rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych. $z \in \{1, 1-\sqrt{3}-3i, 1+\sqrt{3}-3i \}$.
Zad 2: To równanie kwadratowe. Delta z tego równania wychodzi urojona ($\Delta = -5 + 12i$), a pierwiastki to ostatecznie $z_1 = 1$ oraz $z_2 = -2+2i$.
Wszystkie schematy rozwiązywania równań (nawet tych z kosmiczną deltą!) znajdziesz w lekcji na platformie:
Ćwiczenia z liczbami zespolonymi – zastosowanie wzorów Moivre’a
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: $W = (3 – i\sqrt{27})^{30}$
- Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: $F = \sqrt[4]{-8 + i\sqrt{192}}$
Zad 1: $W = 6^{30}$
Zad 2: Zbiór czterech pierwiastków:
$w_0 = \sqrt{3} + i$
$w_1 = -1 + i\sqrt{3}$
$w_2 = -\sqrt{3} – i$
$w_3 = 1 – i\sqrt{3}$
Wszystkie schematy potęgowania i pierwiastkowania złożonych wyrażeń zespolonych znajdziesz w lekcji na platformie:
Rozwiązywanie różnych zadań w zbiorze liczb zespolonych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów opisanych zależnością: $Re \frac{z+2i}{z-2} \le 0$
- Wyznacz część rzeczywistą oraz część urojoną liczby $w = \frac{i^{2027} \cdot |z|^2}{\bar{z} – 3i}$ jeśli $z = 3 – 4i$
- Wyznacz takie liczby $a, b \in \textbf{R}$ aby zachodziła równość $a(3 + 2i) + b(1 – i)^3 = 4 + 2i$
Zad 1: Koło (obszar wraz z brzegiem) o środku $S=(1, -1)$ i promieniu $r=\sqrt{2}$, z równania: $(x-1)^2 + (y+1)^2 \le 2$, z wykluczeniem punktu $(2,0)$ wynikającym z dziedziny.
Zad 2: Część rzeczywista $Re(w) = -2.5$, część urojona $Im(w) = -7.5$. Sama liczba to $w = -2.5 – 7.5i$.
Zad 3: Szukane liczby to $a = 2$ oraz $b = 1$.
Kompletne rozwiązania tych (i wielu innych) typowo egzaminacyjnych zadań znajdziesz w podsumowującej lekcji na platformie:
