Zadania dla studentów z logiki matematycznej

1. Oceń zdania logiczne:
   1. $\sqrt{121}+\frac{2}{3^{-2}} \in N$
   2. $\frac{\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}+1} \geq 1$
2. Podaj dziedzinę podanej formy zdaniowej:
   1. Liczba $2k^2-k+3$ jest nieparzysta
   2. $10y+2 \leq y-7$

1. Wiadomo, że wartość logiczna zdania $\neg p \Rightarrow \neg q$ wynosi 0. Jaką wartość logiczną ma zdanie:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $[(p \Leftrightarrow (q \lor \neg p)) \lor (\neg q \land p)] \Rightarrow \{(p \land q) \Rightarrow \neg p\}$
2. Oceń zdanie logiczne:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $((\sqrt{2})^{-2} \in NW \Leftrightarrow (-5)^2 \neq -5^2) \lor \{ \frac{1}{1,1}=(\frac{10}{11})^{-1} \Rightarrow (2,(1)=2\frac{1}{3} \lor 5,(9) \neq 6)\}$

1. Oceń zdania logiczne: Zaprzecz zdaniu: $(p \Rightarrow \neg q) \land (\neg g \lor p)$
2. Utwórz zaprzeczenie zdania i oceń je: Jeżeli $12^0+13^1+14^2<243$ to $5^2 \cdot 25^4=125^6$

1. Oceń wartość logiczną zdania i zapisz je z użyciem kwantyfikatorów:
   • Dla każdej liczby rzeczywistej $y$, zachodzi nierówność $y^4 \lt y^2 $
2. Oceń wartość logiczną zdania:
   • $\forall_{a \in R^+} \exists_{b \in R^-} \quad a \cdot b < 0$
3. Zaprzecz zdaniu z kwantyfikatorami:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   • $\exists_{x>3} \exists_{y>1} \quad (x+2y \leq 0 \Rightarrow x-y > -4)$

Sprawdź czy następujące wyrażenia są tautologiami:

1. $(p \land \neg q) \Rightarrow (q \lor \neg p)$
2. $[(\neg p \lor q) \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)] \Rightarrow (\neg q)$

Sprawdź czy następujące wyrażenia są tautologiami:

1. $[(r \land \neg p) \Leftrightarrow \neg q] \lor (p \Rightarrow r)$
2. $[(\neg p) \lor (\neg q)] \Leftrightarrow (\neg r \Rightarrow p)$

Czy prawdziwe są następujące zdania?

1. Jeżeli woda jest mokra, to trawa jest zielona, wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli trawa nie jest zielona, to woda nie jest mokra.
2. Jeżeli dzisiaj jest wtorek, to jeżeli dzisiaj nie jest wtorek, to Księżyc jest zrobiony z żółtego sera.

1. Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+…+\frac{1}{(2n-1) \cdot (2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$
2. Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi:
   $1^2+2^2+3^2…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

1. Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi podzielność: $8|3^{2n}-1$
2. Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi podzielność: $7|2^{n+2}+3^{2n+1}$

1. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ większej od 3 prawdziwa jest nierówność: $3n \lt 2^n$
2. Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ prawdziwa jest nierówność:
   Przesuń, aby zobaczyć cały wzór
   $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$

1. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzi równość: $A-(B \cup C)=(A-B) \cap (A-C)$
2. Sprawdź czy równość jest tożsamością rachunku zbiorów: $(A-B) \cup B=A$

1. Zaznacz w układzie współrzędnych $A \times B$ jeśli: $A=\{x \in R: |x-2| \leq 1\}$ zaś $B=\{y \in R:\log_2 y \lt 3\}$
2. Sprawdź czy równość jest prawdziwa: $A \times (B-C)=(A \times B)-(A \times C)$