Zadania z rachunku różniczkowego: Baza na kolokwia i egzaminy
Cześć! Rachunek różniczkowy to absolutny fundament analizy matematycznej i klucz do zrozumienia przebiegu każdej funkcji, optymalizacji, a także późniejszego całkowania. Bez sprawnego radzenia sobie ze wzorami na pochodne funkcji złożonych, badaniem monotoniczności czy wyznaczaniem asymptot, wyższa matematyka na pierwszym roku potrafi mocno dać w kość. Przygotowałam tu dla Ciebie obszerną bazę typowych zadań i akademickich pewniaków, które królują na kolokwiach i egzaminach. Koniec z liczeniem w ciemno i wkuwaniem algorytmów na blachę – czas poznać konkretne triki, dzięki którym każde, nawet piętrowe złożenie funkcji stanie się dla Ciebie logiczne i przewidywalne!
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym poleceniem ukryłam dla Ciebie ostateczną odpowiedź. Spróbuj rozwalić dany przykład całkowicie samodzielnie (np. obliczając pochodną ilorazu, drugą pochodną lub znajdując ekstrema), a potem jednym kliknięciem zweryfikuj swój wynik. To genialny test Twojej wiedzy.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na kosmicznej pochodnej z logarytmem naturalnym? Badanie wypukłości funkcji uparcie się nie spina i nie masz pojęcia dlaczego? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online nie tylko rozwiązuję krok po kroku zadania z tej bazy, ale rozkładamy na czynniki pierwsze mnóstwo innych, kluczowych akademickich przykładów (w tym kompleksowe badanie przebiegu zmienności trudnych funkcji wymiernych czy wykładniczych oraz dowody z twierdzenia Lagrange’a na poziomie PRO!). Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, pochodne staną się dla Ciebie przysłowiową pestką.
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na studiach?
Akademickie zbiory zadań często przerażają ścianami trudnego tekstu, a rozwiązania są w nich skracane do absolutnego minimum. Umówmy się – samo zgadywanie, skąd wykładowca wziął dany wynik lub dlaczego znak nierówności nagle się zmienił, niczego Cię nie nauczy! U mnie nie ma miejsca na luki w wiedzy. Tłumaczę analityczne zawiłości prostym, ludzkim językiem, krok po kroku pokazując każdy, nawet najmniejszy etap obliczeń. Zbudujmy Twoją matematyczną pewność siebie!
Obliczanie pochodnych funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = x^4 – 2x^3 – 10x + 1500$
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \frac{4x^6 – 2x^3 – 10x}{5} + \cos x$
Zad 1: $f'(x) = 4x^3 – 6x^2 – 10$
Zad 2: $f'(x) = \frac{24x^5 – 6x^2 – 10}{5} – \sin x$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Obliczanie pochodnych iloczynu funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (7x – 1)(2x^2 – 3x + 1)$
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (\sin x + 2)(\cos x – 4x + 1)$
Zad 1: $f'(x) = 42x^2 – 46x + 10$
Zad 2: $f'(x) = \cos x (\cos x – 4x + 1)$ + $(\sin x + 2)(-\sin x – 4)$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Obliczanie pochodnych ilorazu funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \frac{2x^2-x}{x^4+2}$
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \frac{3\sin x}{x^2+1}$
Zad 1: $f'(x) = \frac{-4x^5 + 3x^4 + 8x – 2}{(x^4+2)^2}$
Zad 2: $f'(x) = \frac{3(x^2+1)\cos x – 6x\sin x}{(x^2+1)^2}$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Pochodna funkcji złożonych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (5x^4 – 2x + 3)^3$
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \sqrt{x^2 – 8x + 1}$
Zad 1: $f'(x) = 3(5x^4 – 2x + 3)^2(20x^3 – 2)$
Zad 2: $f'(x) = \frac{x – 4}{\sqrt{x^2 – 8x + 1}}$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Pochodna funkcji złożonych – część II
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \sin[\ln (8x – 4)]$
- Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \sqrt{\cos(x^3 – 3x)}$
Zad 1: $f'(x) = \frac{2\cos[\ln (8x – 4)]}{2x – 1}$
Zad 2: $f'(x) = \frac{-(3x^2 – 3)\sin(x^3 – 3x)}{2\sqrt{\cos(x^3 – 3x)}}$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Pochodna wyższych rzędów
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Oblicz trzecią pochodną funkcji $f(x) = x^4 – 2x^2 + 10x – 2$
- Oblicz drugą pochodną funkcji $f(x) = e^{2x^4 – 4x^3 + 10}$
Zad 1: $f”'(x) = 24x$
Zad 2: $f”(x) = e^{2x^4 – 4x^3 + 10}({(8x^3-12x^2)}^2+(24x^2-24x))$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Monotoniczność funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 – 3x + 2$
- Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = \frac{6x-6}{x^2+2}$
Zad 1:
Funkcja rośnie w przedziałach: $(-\infty, -1]$ oraz $[1, +\infty)$
Funkcja maleje w przedziale: $[-1, 1]$
Zad 2:
Funkcja rośnie w przedziale: $[1 – \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}]$
Funkcja maleje w przedziałach: $(-\infty, 1 – \sqrt{3}]$ oraz $[1 + \sqrt{3}, +\infty)$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Ekstrema funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Wyznacz o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$
- Wyznacz o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji $f(x) = 4x^3 – 24x^2 + 36x – 1$
Zad 1:
Funkcja nie posiada ekstremów lokalnych.
Zad 2:
Maksimum lokalne: $f(1) = 15$
Minimum lokalne: $f(3) = -1$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Punkty przegięcia funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Wyznacz punkty przegięcia funkcji, o ile istnieją jeśli $f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 1$
- Wyznacz punkty przegięcia funkcji, o ile istnieją jeśli $f(x) = \frac{2x^2}{x-3}$
Zad 1:
Punkt przegięcia: $P = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
Zad 2:
Funkcja nie posiada punktów przegięcia.
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Wypukłość i wklęsłość funkcji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Zbadaj wypukłość bądź wklęsłość funkcji $f(x) = \ln(4 – x^2)$
- Zbadaj wypukłość bądź wklęsłość funkcji $f(x) = x^3 – 12x – 1$
Zad 1:
Funkcja jest wklęsła (wypukła ku górze) w całej swojej dziedzinie, czyli w przedziale $(-2, 2)$.
Zad 2:
Funkcja jest wklęsła (wypukła ku górze) w przedziale: $(-\infty, 0)$
Funkcja jest wypukła (wypukła ku dołowi) w przedziale: $(0, +\infty)$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Asymptota pionowa, pozioma i ukośna
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Wyznacz równania asymptot wykresu funkcji $f(x) = \frac{2x^2}{x-4}$
- Wyznacz równania asymptot wykresu funkcji $f(x) = \frac{4x-2}{x+5}$
Zad 1:
Asymptota pionowa (obustronna): $x = 4$
Asymptota ukośna (obustronna): $y = 2x + 8$
Asymptot poziomych brak.
Zad 2:
Asymptota pionowa (obustronna): $x = -5$
Asymptota pozioma (obustronna): $y = 4$
Innych asymptot brak.
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Badanie przebiegu zmienności funkcji wielomianowych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = 48x – x^3$
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = (x^2 – 2)(x^2 + 3)$
- Dziedzina: $\mathbb{R}$
- Miejsca zerowe: $x \in \{-4\sqrt{3}, 0, 4\sqrt{3}\}$
- Ekstrema: Minimum w punkcie $(-4, -128)$, Maksimum w punkcie $(4, 128)$
- Monotoniczność: rośnie w przedziale $(-4, 4)$, maleje w $(-\infty, -4)$ oraz $(4, +\infty)$
- Punkt przegięcia: $P = (0, 0)$
- Dziedzina: $\mathbb{R}$
- Miejsca zerowe: $x \in \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$
- Ekstrema: Minimum lokalne w punkcie $(0, -6)$
- Monotoniczność: rośnie w przedziale $(0, +\infty)$, maleje w $(-\infty, 0)$
- Wypukłość: funkcja wypukła (ku dołowi) w całej dziedzinie (brak punktów przegięcia)
Zbadanie przebiegu zmienności to złożony proces, który wymaga sprawdzenia wielu własności. Wszystkie etapy analizy, od dziedziny po rysowanie wykresu, tłumaczę krok po kroku w moim kursie!
Badanie przebiegu zmienności funkcji wymiernych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = \frac{x^2}{x-2}$
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = 1 – \frac{x^2+3}{x^2-1}$
- Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
- Asymptoty: pionowa $x = 2$, ukośna $y = x + 2$
- Miejsca zerowe: $x = 0$
- Ekstrema: Maksimum w punkcie $(0, 0)$, Minimum w punkcie $(4, 8)$
- Monotoniczność: rośnie w przedziałach $(-\infty, 0)$ oraz $(4, +\infty)$, maleje w $(0, 2)$ oraz $(2, 4)$
- Wypukłość: wklęsła w przedziale $(-\infty, 2)$, wypukła w przedziale $(2, +\infty)$
- Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$
- Asymptoty: pionowe $x = -1$ oraz $x = 1$, pozioma $y = 0$
- Miejsca zerowe: brak
- Ekstrema: Minimum lokalne w punkcie $(0, 4)$
- Monotoniczność: rośnie w przedziałach $(0, 1)$ oraz $(1, +\infty)$, maleje w $(-\infty, -1)$ oraz $(-1, 0)$
- Wypukłość: wklęsła w $(-\infty, -1)$ oraz $(1, +\infty)$, wypukła w $(-1, 1)$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Badanie przebiegu zmienności funkcji wykładniczych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = x^2e^{-x}$
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = \frac{e^{-2x}}{x^2-x-2}$
- Dziedzina: $D = \mathbb{R}$
- Miejsce zerowe: $x = 0$
- Asymptoty: pozioma prawostronna $y = 0$ (w $+\infty$)
- Ekstrema: Minimum w $x = 0$ ($y=0$), Maksimum w $x = 2$ ($y=\frac{4}{e^2}$)
- Monotoniczność: rośnie w $(0, 2)$, maleje w $(-\infty, 0)$ oraz $(2, +\infty)$
- Punkty przegięcia: dla $x = 2 – \sqrt{2}$ oraz $x = 2 + \sqrt{2}$
- Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$
- Miejsca zerowe: brak
- Asymptoty: pionowe $x = -1$ i $x = 2$, pozioma prawostronna $y = 0$ (w $+\infty$)
- Ekstrema: Minimum dla $x = -\frac{\sqrt{10}}{2}$, Maksimum dla $x = \frac{\sqrt{10}}{2}$
- Monotoniczność: rośnie w $(-\frac{\sqrt{10}}{2}, -1)$ oraz $(-1, \frac{\sqrt{10}}{2})$, maleje w $(-\infty, -\frac{\sqrt{10}}{2})$, $(\frac{\sqrt{10}}{2}, 2)$ oraz $(2, +\infty)$
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Badanie przebiegu zmienności funkcji logarytmicznych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = x \cdot \ln^2 x$
- Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x) = x^2 – 2\ln x$
- Dziedzina: $D = (0, +\infty)$
- Miejsca zerowe: $x = 1$
- Asymptoty: brak asymptot (w tym pionowej dla $x=0$, ponieważ $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$)
- Ekstrema: Maksimum lokalne w punkcie $(e^{-2}, \frac{4}{e^2})$, Minimum lokalne w punkcie $(1, 0)$
- Monotoniczność: rośnie w przedziałach $(0, e^{-2})$ oraz $(1, +\infty)$, maleje w $(e^{-2}, 1)$
- Punkt przegięcia: dla $x = e^{-1}$ (czyli $P = (e^{-1}, e^{-1})$)
- Dziedzina: $D = (0, +\infty)$
- Asymptoty: pionowa prawostronna $x = 0$, brak poziomych i ukośnych
- Ekstrema: Minimum lokalne w punkcie $(1, 1)$
- Monotoniczność: maleje w przedziale $(0, 1)$, rośnie w przedziale $(1, +\infty)$
- Wypukłość: funkcja jest wypukła (ku dołowi) w całej dziedzinie, brak punktów przegięcia
Zobacz darmową lekcję pokazową na YouTube, gdzie tłumaczę ten temat krok po kroku!
🎥 OGLĄDAJ NA YOUTUBE
Przejdź do pełnej lekcji w kursie
Nie masz jeszcze dostępu? DOŁĄCZ TERAZ
Obliczanie wartości pochodnej za pomocą definicji
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Oblicz z definicji (jeśli istnieje):
- $f'(1)$ dla $f(x) = \sqrt{x+3}$
- $f'(2)$ dla $f(x) = |x-2|$
- $f'(0)$ dla $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & \text{dla } x \neq 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \end{cases}$
Zad 1: $f'(1) = \frac{1}{4}$
Zad 2: Pochodna $f'(2)$ nie istnieje (granice jednostronne ilorazu różnicowego są różne: lewostronna wynosi $-1$, a prawostronna $1$).
Zad 3: $f'(0) = 1$
Obliczanie pochodnych z definicji często wymaga sprytnych przekształceń i sprawnego liczenia granic. Wszystkie najważniejsze triki pokazuję w moim kursie!
Pojęcie różniczkowalności funkcji. Ciągłość i różniczkowalność
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Rozwiąż poniższe zadania:
- Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji $f(x) = |x – 1| \cdot \ln x$
-
Zbadaj dla jakich parametrów $a$ oraz $b$ funkcja
Przesuń, aby zobaczyć cały wzórjest ciągła, a następnie stwierdź, czy dla tych parametrów funkcja jest różniczkowalna.
Zad 1:
Funkcja jest ciągła oraz różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, czyli dla $x \in (0, +\infty)$.
(Wskazówka: mimo obecności wartości bezwzględnej, pochodne jednostronne w punkcie $x=1$ są sobie równe i wynoszą $0$).
Zad 2:
Funkcja jest ciągła dla parametrów: $a = 2$ oraz $b = 6$.
Dla wyznaczonych parametrów funkcja jest różniczkowalna w punkcie $x = 1$, ale nie jest różniczkowalna w punkcie $x = 3$.
Badanie ciągłości i różniczkowalności wymaga dobrego zrozumienia granic jednostronnych i pochodnych. Wszystkie te zagadnienia oraz triki ułatwiające obliczenia pokazuję w pełnej lekcji w kursie!
Twierdzenie Lagrange’a w nierównościach
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Wykaż podaną nierówność powołując się na twierdzenie Lagrange’a:
- $\frac{b-a}{2\sqrt{b}} < \sqrt{b} - \sqrt{a} < \frac{b-a}{2\sqrt{a}}$ dla $0 < a < b$
- $x < \text{tg}\, x < \frac{x}{\cos^2 x}$ dla $0 < x < \frac{\pi}{2}$
- Rozpatrujemy funkcję $f(t) = \sqrt{t}$ na przedziale $[a, b]$.
- Z twierdzenia Lagrange’a istnieje $c \in (a, b)$ takie, że $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$.
- Skoro $a < c < b$, to $\sqrt{a} < \sqrt{c} < \sqrt{b}$. Po odwróceniu ułamków otrzymujemy $\frac{1}{2\sqrt{b}} < \frac{1}{2\sqrt{c}} < \frac{1}{2\sqrt{a}}$.
- Mnożąc nierówność przez $(b-a) > 0$, otrzymujemy tezę.
- Rozpatrujemy funkcję $f(t) = \text{tg}\, t$ na przedziale $[0, x]$.
- Z twierdzenia Lagrange’a istnieje $c \in (0, x)$ takie, że $\frac{\text{tg}\, x – \text{tg}\, 0}{x – 0} = \frac{1}{\cos^2 c}$, czyli $\text{tg}\, x = \frac{x}{\cos^2 c}$.
- Skoro $0 < c < x < \frac{\pi}{2}$, to $\cos x < \cos c < \cos 0 = 1$. Stąd $\cos^2 x < \cos^2 c < 1$.
- Po odwróceniu: $1 < \frac{1}{\cos^2 c} < \frac{1}{\cos^2 x}$. Mnożąc przez $x > 0$, otrzymujemy tezę.
Zastosowanie twierdzenia Lagrange’a w dowodach wymaga odpowiedniego doboru funkcji i przedziału. Krok po kroku pokazuję, jak wpaść na właściwy trop w pełnej lekcji w kursie!
