Czym jest logika matematyczna?

Logika matematyczna to dział matematyki, który zajmuje się badaniem teorii matematycznych (pod względem struktur czy metod), a także dziedzina opisująca w sposób formalny mechanizmy ludzkiego myślenia – określa granice tego, co w poprawnym rozumowaniu dopuszczalne. Narzędzia, jakie dostarcza logika matematyczna, pozwalają wyciągać wnioski z przyjętych założeń, co przydaje się przede wszystkim w dowodzeniu twierdzeń, kluczowych dla rozwoju matematyki. Choć początki logiki sięgają już starożytnej Grecji, samodzielną dyscypliną stała się ona dopiero w XX wieku.

Obecnie logikę matematyczną uważa się za podstawową dziedzinę nauk matematycznych i informatycznych, ponieważ znaczna część teorii jest oparta właśnie na założeniach logiki, a także wyrażona w zaczerpniętych z niej pojęciach. Do najbardziej znanych naukowców specjalizujących się w logice matematycznej należą Gottlob Frege, Bertrand Russell oraz Polacy – Jan Łukasiewicz i Alfred Tarski.

Logika matematyczna w praktyce

Próbując przedstawić, czym tak właściwie jest logika, warto wyjść od jej podstaw, tłumacząc, czym jest zdanie logiczne (statement). Zdanie logiczne to zdanie, które może mieć tylko jedną z dwóch wartości – prawda (true) lub fałsz (false). Samo zdanie oznacza się w logice literą p lub q, natomiast prawdę cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0. Przechodząc do przykładów:

• Zdanie Arietta Liberda-Draus jest nauczycielką matematyki. jest prawdziwe (ma wartość logiczną 1) → p = 1
• Zdanie Kursy AjkaMAT pomogą Ci zdać maturę z języka polskiego. jest fałszywe (ma wartość logiczną 0). → p = 0

Kolejnym elementem logiki są operatory logiczne, czyli operacje (działania), które można wykonywać na zdaniach logicznych. Wyróżniamy 5 podstawowych operatorów:

• Negacja – jest podstawowym operatorem, przekształcającym każde zdanie na zdanie o przeciwnej wartości logicznej. Oznacza się ją symbolem ¬ lub ~ czytanym jako “nieprawda, że”.
  • Dla p = 1, ~p = 0; dla p = 0, ~p = 1
• Koniunkcja – operuje na dwóch zdaniach logicznych, jest prawdziwa tylko wtedy gdy oba zdania mają wartość logiczną 1. Oznacza się ją symbolem ∧ czytanym jako “i”.
  • Dla p = 1 i q = 1, p ∧ q = 1; dla p = 1 i q = 0, p ∧ q = 0; dla p = 0 i q = 1, p ∧ q = 0; dla p = 0 i q = 0, p ∧ q = 0
• Alternatywa – jest prawdziwa, gdy chociaż jedno ze zdań jest prawdziwe. Oznacza się ją symbolem ∨ czytanym jako “lub”.
  • Dla p = 1 i q = 1, p ∨ q = 1; dla p = 1 i q = 0, p ∨ q = 1; dla p = 0 i q = 1, p ∨ q = 1; dla p = 0 i q = 0, p ∨ q = 0
• Implikacja – dotyczy dwóch zdań logicznych, z których pierwsze nazywane jest poprzednikiem a drugie następnikiem, stąd też utożsamiana jest z wnioskowaniem. Oznacza się ją symbolem → czytanym jako “jeśli… to” lub “więc”.
  • Dla p = 1 i q = 1, p → q = 1; dla p = 1 i q = 0, p → q = 0; dla p = 0 i q = 1, p → q = 1; dla p = 0 i q = 0, p → q = 1
• Równoważność – jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania logiczne mają tę samą wartość logiczną. Oznacza się ją symbolem ↔ czytanym jako “wtedy i tylko wtedy gdy”.
  • Dla p = 1 i q = 1, p ↔ q = 1; dla p = 1 i q = 0, p ↔ q = 0, dla p = 0 i q = 1, p ↔ q = 0, dla p = 0 i q = 0, p ↔ q = 1

Logika matematyczna – niezwykły dział matematyki

Logika matematyczna to wbrew pozorom niezwykła dziedzina, z której bogactwa można czerpać na co dzień. Kiedy przydaje się ona w życiu? Chociażby podczas konstruowania wypowiedzi w dyskusji czy analizowania informacji. Z logiki matematycznej korzysta się również przy tworzeniu teorii na temat ciał niebieskich, a także przy badaniu nowych pierwiastków chemicznych. Chciałbyś zgłębić ten temat? Sprawdź oferowany w AjkaMAT kurs logiki matematycznej już dziś. Zapraszam!