Dowody matematyczne na poziomie podstawowym

Zadania maturalne: Dowodzenie twierdzeń – poziom podstawowy

Cześć! Przygotowałam tu dla Ciebie absolutne hity i maturalne pewniaki z arkuszy CKE z poziomu podstawowego. To właśnie na tych działach – dowodzeniu twierdzeń na podzielność oraz zadaniach dowodowych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia – najszybciej i najłatwiej zdobędziesz przewagę nad innymi i uzyskasz świetny wynik na maturze! Skompletowałam ten zbiór specjalnie po to, żebyś przestał wkuwać matematykę na pamięć, a zaczął w końcu zauważać genialne i powtarzalne schematy.

Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?

Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym zadaniem ukryłam dla Ciebie gotową odpowiedź. Spróbuj rozwalić ten przykład całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem sprawdź, czy Twój wynik zgadza się z moim! To najszybszy test Twojej wiedzy.
Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na jakimś przykładzie? Wynik uparcie się nie zgadza i nie masz pojęcia dlaczego? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online nie tylko tłumaczę krok po kroku zadania z tej bazy, ale przerabiamy mnóstwo innych, absolutnie kluczowych przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, te zadania staną się dla Ciebie przysłowiową pestką!

Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń przed maturą? W sieci znajdziesz mnóstwo stron ze ścianami nudnego tekstu i suchymi rozwiązaniami. Ale umówmy się – samo przepisanie cyferek z ekranu niczego Cię nie nauczy, zwłaszcza gdy na egzaminie pojawi się lekko zmieniony przykład! U mnie nie ma miejsca na nudę. Stawiam na pełne zrozumienie i totalnie ludzkie podejście. Tłumaczę najbardziej zawiłe zagadnienia „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci najczęstsze maturalne pułapki, podrzucę triki na ekspresowe liczenie i odczaruję tę matmę raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, odzyskasz pewność siebie i zdasz tę maturę na totalnym luzie. Gotowy? Lecimy z tematem!

Matura podstawowa – Sierpień 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 5. (0-2)

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 15$ jest podzielna przez $12$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 15$ jest podzielna przez $12$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Zapisz liczbę nieparzystą jako $n=2k+1$, podstaw do wyrażenia i wyłącz $12$ przed nawias.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji 📘 Dział III – Wyrażenia algebraiczne, lekcja 10: Dowodzenie twierdzeń
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Czerwiec 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 5. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n \ge 0$ liczba $7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby całkowitej $n \ge 0$ liczba $7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Wyłącz $7^n$ przed nawias – sprawdź, jaka liczba zostanie w nawiasie.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji 📘 Dział III – Wyrażenia algebraiczne, lekcja 9: Ćwiczenia na potęgach
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Maj 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 7. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Wyłącz $7n$ przed nawias i zastanów się nad parzystością iloczynu $n(n+3)$.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Matura podstawowa – Sierpień 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 5. (0-2)

Wykaż, że liczba $8^{50} – 2^{145}$ jest podzielna przez $31$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: liczba $8^{50} – 2^{145}$ jest podzielna przez $31$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Zapisz $8^{50}$ jako potęgę dwójki i wyłącz $2^{145}$ przed nawias.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji 📘 Dział III – Wyrażenia algebraiczne, lekcja 9: Ćwiczenia na potęgach
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Czerwiec 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 5. (0-3)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2 – b^2$ jest podzielna przez $5$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2 – b^2$ jest podzielna przez $5$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Zapisz $a=5k+1$ i $b=5m+4$, a różnicę $a^2-b^2$ rozłóż wzorem skróconego mnożenia – przyjrzyj się sumie $a+b$.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji 📘 Dział III – Wyrażenia algebraiczne, lekcja 4: Wzory skróconego mnożenia
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Maj 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 5. (0-2)

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Podstaw $n=2k+1$ i wyłącz $4$ przed nawias.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji 📘 Dział III – Wyrażenia algebraiczne, lekcja 10: Dowodzenie twierdzeń
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Sierpień 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 3. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Rozwiń kwadrat sumy i wyłącz $4$ przed nawias.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji ⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Czerwiec 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 5. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $5n^3 – 5n$ jest podzielna przez $30$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $5n^3 – 5n$ jest podzielna przez $30$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Wyłącz $5n$ przed nawias i rozłóż $n^2-1$ – zobaczysz iloczyn trzech kolejnych liczb.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji ⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Maj 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 3. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Rozwiń kwadraty i zapisz wynik w postaci $3\cdot(\ldots)+2$.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji ⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Sierpień 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 4. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $3n^3 + 18n^2 + 15n$ jest podzielna przez $6$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $3n^3 + 18n^2 + 15n$ jest podzielna przez $6$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Wyłącz $3n$ przed nawias, rozłóż trójmian i poszukaj iloczynu dwóch kolejnych liczb.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji ⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 18: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Czerwiec 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 3. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2 + 7k – 2$ przez $7$ jest równa $5$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2 + 7k – 2$ przez $7$ jest równa $5$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Zapisz $-2$ jako $-7+5$ i wyłącz $7$ przed nawias.🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji ⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 18: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ

Matura podstawowa – Maj 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)

Zadanie 3. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 1)^2 – 1$ jest podzielna przez $8$.

💡 Dowód 📚 Nauka

Dowód: dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 1)^2 – 1$ jest podzielna przez $8$ – co należało wykazać. 💡 Wskazówka: Rozwiń kwadrat i wyłącz $4n$ przed nawias – co wiesz o iloczynie $n(n+1)$?🔒 Pełny dowód krok po kroku znajdziesz w moim kursie – dział II, „Zadania maturalne z ubiegłych lat”.

Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Zadania na dowodzenie z podzielnością
📘 Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 2: Zadania na dowodzenie z podzielnością
Przejdź do lekcji ⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Dział II – Działania w zbiorach liczbowych, lekcja 18: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ