Zadania maturalne – dowodzenie twierdzeń – poziom podstawowy
W tym zestawie zadań znajdziesz zadania maturalne z dowodzenia twierdzeń z poziomu podstawowego. Ćwicz zagadnienia takie jak dowodzenie twierdzeń na podzielność oraz dowodzenie twierdzeń z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. Do każdego zadania przygotowaliśmy pełne rozwiązanie i omówienie, abyś mógł krok po kroku zrozumieć każde przekształcenie i lepiej przygotować się do matury.
Matura podstawowa – Sierpień 2025
Zadanie 5 (0-2) (Sierpień 2025)
Wykaż, że liczba $8^{50} – 2^{145}$ jest podzielna przez $31$.
Korzystamy z własności działań na potęgach:
$8^{50} – 2^{145} = (2^3)^{50} – 2^{145} = 2^{150} – 2^{145}$
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
$2^{145} \cdot (2^5 – 1) = 2^{145} \cdot (32 – 1) = 2^{145} \cdot 31$
Liczba $2^{145}$ jest całkowita, więc cały iloczyn jest podzielny przez $31$.
Naucz się tego w kursie:
Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Zadanie 5 (0-3) (Czerwiec 2025)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2 – b^2$ jest podzielna przez $5$.
Zapisujemy liczby w postaci:
$a = 5k + 1$ oraz $b = 5l + 4$, gdzie $k, l \in \mathbb{Z}$.
Obliczamy różnicę kwadratów:
$a^2 – b^2 = (5k + 1)^2 – (5l + 4)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1 – (25l^2 + 40l + 16)$
$= 25k^2 + 10k + 1 – 25l^2 – 40l – 16$
$= 25k^2 – 25l^2 + 10k – 40l – 15$
Wyłączamy $5$ przed nawias:
$= 5(5k^2 – 5l^2 + 2k – 8l – 3)$
Wynik jest iloczynem liczby $5$ i liczby całkowitej, zatem jest podzielny przez $5$.
Naucz się tego w kursie:
Lekcja 2 – Dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Nie masz kursu? Dołącz tutaj
Zadanie 5 (0-2) (Maj 2025)
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$.
Każdą nieparzystą liczbę naturalną możemy zapisać jako:
$n = 2k + 1$, gdzie $k \in \{0, 1, 2, …\}$.
Podstawiamy do wyrażenia:
$3(2k + 1)^2 + 2(2k + 1) + 7 =$
$= 3(4k^2 + 4k + 1) + 4k + 2 + 7 =$
$= 12k^2 + 12k + 3 + 4k + 9 =$
$= 12k^2 + 16k + 12$
Wyłączamy $4$ przed nawias:
$= 4(3k^2 + 4k + 3)$
Ponieważ $3k^2 + 4k + 3$ jest liczbą całkowitą, wyrażenie jest podzielne przez $4$.
Naucz się tego w kursie:
Dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Dołącz do kursu: DOŁĄCZ
Zadanie 3 (0-2) (Sierpień 2024)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.
Rozpisujemy wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$(2n + 5)^2 + 3 = 4n^2 + 20n + 25 + 3 =$
$= 4n^2 + 20n + 28$
Wyłączamy wspólny czynnik $4$ przed nawias:
$= 4(n^2 + 5n + 7)$
Liczba $n^2 + 5n + 7$ jest liczbą naturalną dla $n \ge 1$, zatem liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 5 (0-2) (Czerwiec 2024)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $5n^3 – 5n$ jest podzielna przez $30$.
Wyłączamy wspólny czynnik $5n$ przed nawias:
$5n^3 – 5n = 5n(n^2 – 1)$
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
$= 5n(n – 1)(n + 1) = 5 \cdot (n – 1) \cdot n \cdot (n + 1)$
Zauważmy, że $(n – 1) \cdot n \cdot (n + 1)$ to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród takich liczb co najmniej jedna jest podzielna przez $2$ i dokładnie jedna jest podzielna przez $3$.
Zatem iloczyn ten jest podzielny przez $2 \cdot 3 = 6$.
Cała liczba jest więc podzielna przez $5 \cdot 6 = 30$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 3 (0-2) (Maj 2024)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.
Rozpisujemy wyrażenie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
$n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) =$
$= 3n^2 + 6n + 5$
Liczbę $5$ zapisujemy jako $3 + 2$, aby wyłączyć trójkę przed nawias:
$= 3n^2 + 6n + 3 + 2 =$
$= 3(n^2 + 2n + 1) + 2$
Otrzymaliśmy postać $3k + 2$, gdzie $k = (n^2 + 2n + 1)$ jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że liczba przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 4 (0-2) (Sierpień 2023)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $3n^3 + 18n^2 + 15n$ jest podzielna przez $6$.
Wyłączamy wspólny czynnik $3n$ przed nawias:
$3n^3 + 18n^2 + 15n = 3n(n^2 + 6n + 5)$
Rozkładamy trójmian w nawiasie na czynniki (np. licząc deltę lub rozbijając $6n$ na $n + 5n$):
$= 3n(n + 1)(n + 5)$
Zauważmy, że $n(n + 1)$ to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Wśród dwóch kolejnych liczb jedna musi być parzysta (podzielna przez $2$).
Skoro iloczyn $n(n+1)$ jest podzielny przez $2$, to całe wyrażenie $3 \cdot [n(n+1) \cdot (n+5)]$ jest podzielne przez $3 \cdot 2 = 6$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 3 (0-2) (Czerwiec 2023)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2 + 7k – 2$ przez $7$ jest równa $5$.
Przekształcamy wyrażenie tak, aby wyłączyć siódemkę przed nawias. Liczbę $-2$ zapisujemy jako $-7 + 5$:
$49k^2 + 7k – 2 = 49k^2 + 7k – 7 + 5$
Teraz wyłączamy wspólny czynnik $7$ przed nawias z pierwszych trzech wyrazów:
$= 7(7k^2 + k – 1) + 5$
Otrzymaliśmy postać $7m + 5$, gdzie $m = (7k^2 + k – 1)$ jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że reszta z dzielenia tego wyrażenia przez $7$ jest równa $5$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 3 (0-2) (Maj 2023)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $(2n + 1)^2 – 1$ jest podzielna przez $8$.
Rozpisujemy wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$(2n + 1)^2 – 1 = 4n^2 + 4n + 1 – 1 =$
$= 4n^2 + 4n$
Wyłączamy wspólny czynnik $4n$ przed nawias:
$= 4n(n + 1)$
Zauważmy, że $n(n + 1)$ to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Wśród dwóch kolejnych liczb jedna musi być parzysta (podzielna przez $2$).
Zatem iloczyn $n(n + 1)$ możemy zapisać jako $2k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
Otrzymujemy: $4 \cdot 2k = 8k$.
Liczba jest wielokrotnością ósemki, co kończy dowód.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
ZOBACZ LEKCJĘ
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Chcesz mieć wszystkie zadania zawsze pod ręką?
Pobierz zestaw zadań do wydruku w PDF
