Zadania maturalne – dowodzenie twierdzeń – poziom podstawowy
W tym zestawie zadań znajdziesz zadania maturalne z dowodzenia twierdzeń z poziomu podstawowego. Ćwicz zagadnienia takie jak dowodzenie twierdzeń na podzielność oraz dowodzenie twierdzeń z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. Do każdego zadania przygotowaliśmy pełne rozwiązanie i omówienie, abyś mógł krok po kroku zrozumieć każde przekształcenie i lepiej przygotować się do matury.
Matura podstawowa – Sierpień 2025
Zadanie 5 (0-2) (Sierpień 2025)
Wykaż, że liczba $𝟖^{𝟓𝟎} − 𝟐^{𝟏𝟒𝟓}$ jest podzielna przez $𝟑𝟏$.
Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:
$8^{50} − 2^{145} = (2^3)^{50} − 2^{145} = 2^{150} − 2^{145}$
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
$2^{150} − 2^{145} = 2^{145}\cdot (2^5 − 1) = 2^{145}\cdot 31$
Liczba $2^{145}$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $8^{50} − 2^{145}$ jest podzielna przez $31$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
Kliknij w link
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 5 (0-3) (Czerwiec 2025)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $𝒂$, która przy dzieleniu przez $𝟓$ daje resztę $𝟏$,
i dla każdej liczby całkowitej $𝒃$, która przy dzieleniu przez $𝟓$ daje resztę $𝟒$, liczba $𝒂^𝟐 − 𝒃^𝟐$ jest podzielna przez $𝟓$.
Zapisz liczbę $𝑎$ oraz $𝑏$ w postaciach: $𝑎 = 5𝑘 + 1$, gdzie $𝑘 ∈ ℤ$, oraz $𝑏 = 5𝑙 + 4$,
gdzie $𝑙 ∈ ℤ$
teraz $𝑎^2-b^2 =$
$25𝑘^2 + 10𝑘 + 1 − 25𝑙^2 − 40𝑙 − 16 =$
$5(5k^2-5l^2+2k-8l-3)$
Liczba $5k^2-5l^2+2k-8l-3$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $a^2-b^2$ jest podzielna przez $5$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
Kliknij w link
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Zadanie 5 (0-2) (Maj 2025)
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $𝒏$ liczba $𝟑𝒏^𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝟕$ jest podzielna przez $𝟒$.
Zapisz liczbę $n$ w postaci: $𝑎 = 2𝑘 + 1$, gdzie $𝑘 ∈ ℤ$
teraz $3n^2-2n+7=$
$3\cdot (4𝑘^2 + 4𝑘 + 1)-2\cdot (2k+1)+7=$
$12k^2+8k+8=4(3k^2+2k+2)$
Liczba $3k^2+2k+2$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $3n^2-2n+7$ jest podzielna przez $4$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Działania w zbiorach liczbowych – Lekcja 2 – Zadania na dowodzenie z podzielnością
Kliknij w link
Jeśli nie posiadasz jeszcze mojego kursu możesz do niego dołączyć -> DOŁĄCZ
Chcesz mieć wszystkie zadania zawsze pod ręką?
Pobierz zestaw zadań do wydruku w PDF
