Zadania z funkcji jednej zmiennej, równań i nierówności: Baza na kolokwia i egzaminy
Cześć! Funkcje jednej zmiennej, równania i nierówności to absolutnie kluczowy dział matematyki wyższej i fundament pod dalsze tematy, takie jak granice czy całki. Bez sprawnego wyznaczania dziedziny, rysowania wykresów czy analizowania funkcji cyklometrycznych, kolejne etapy studiów (zwłaszcza na kierunkach technicznych) mogą wydawać się czarną magią. Przygotowałam tu dla Ciebie bazę typowych zadań i akademickich pewniaków, które regularnie pojawiają się na kolokwiach i egzaminach. Koniec ze strachem przed skomplikowanymi równaniami – czas poznać zasady gry i bezbłędnie wyznaczać funkcje odwrotne, potyczkować się z logarytmami czy stosować wzory Cardano!
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym poleceniem ukryłam dla Ciebie ostateczną odpowiedź. Spróbuj rozwalić dany przykład całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem zweryfikuj swój wynik. To najszybszy test Twojej wiedzy przed kolokwium.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś przy wyznaczaniu dziedziny pełnej ułamków i pierwiastków? Wykres z podwójną wartością bezwzględną spędza Ci sen z powiek, a równanie z arcus sinus wydaje się nie do ruszenia? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online nie tylko rozwiązuję krok po kroku zadania z tej bazy, ale rozkładamy na czynniki pierwsze mnóstwo innych, kluczowych akademickich przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji składanie funkcji, wyznaczanie funkcji odwrotnych czy rozwiązywanie zaawansowanych nierówności staną się dla Ciebie przysłowiową pestką.
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na studiach?
Podręczniki akademickie często przerażają ścianami trudnego, abstrakcyjnego tekstu i suchymi definicjami. Ale umówmy się – samo czytanie zawiłych symboli rzadko uczy rozwiązywania konkretnych problemów na egzaminie! U mnie nie ma miejsca na niezrozumiały żargon. Tłumaczę najbardziej zawiłe zagadnienia – w tym magiczne własności funkcji cyklometrycznych czy potężne wzory Cardano – „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci pułapki wykładowców, podrzucę triki na ekspresowe obliczenia i odczaruję tę matmę raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, odzyskasz pewność siebie i gładko zaliczysz sesję.
Dziedzina funkcji – część I
(Sprawdź swoją wiedzę…)
-
Wyznacz dziedzinę funkcji:
Przesuń, aby zobaczyć całe równanie
-
Wyznacz dziedzinę funkcji:
Przesuń, aby zobaczyć całe równanie
Zad 1: Dziedzina funkcji: $D_f = (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$
Zad 2: Dziedzina funkcji: $D_f = (0, 7) \setminus \left\{ \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Dziedzina funkcji – część II
(Sprawdź swoją wiedzę…)
-
Wyznacz dziedzinę funkcji:
Przesuń, aby zobaczyć całe równanie
-
Wyznacz dziedzinę funkcji:
Przesuń, aby zobaczyć całe równanie
Zad 1: Dziedzina funkcji: $D_f = (-\infty, -9) \cup (-9, 0)$
Zad 2: Dziedzina funkcji: $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Funkcje cyklometryczne – część I
(Sprawdź swoją wiedzę…)
-
Oblicz wartość następującego wyrażenia:
$M = \frac{7\operatorname{arctg}^3\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\operatorname{arcctg}(-1)}{\arcsin(-1)}$ -
Udowodnij, że:
$\arcsin x = \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ dla $x \in (-1, 1)$
Zad 1: Wartość wyrażenia wynosi: $M = \frac{7\pi^2}{108} – 3$
Zad 2: To zadanie na dowodzenie. Pełne rozpisanie dowodu krok po kroku znajdziesz w lekcji.
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Funkcje cyklometryczne – część II
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Wyznacz dziedzinę funkcji: $f(x) = \sqrt{\arcsin(x + 2) – \frac{\pi}{6}}$
- Rozwiąż równanie: $2\arcsin x – \arccos x = \frac{\pi}{4}$
Zad 1: Dziedzina funkcji: $D_f = \left[-\frac{3}{2}, -1\right]$
Zad 2: Rozwiązanie równania: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Wykresy funkcji cyklometrycznych
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Narysuj wykres funkcji i podaj jej zbiór wartości: $f(x) = 2\operatorname{arctg}x – 1$
- Narysuj wykres funkcji i podaj miejsce zerowe o ile istnieje: $f(x) = -\arcsin x + 2$
Zad 1: Zbiór wartości funkcji to: $ZW = (-\pi – 1, \pi – 1)$
Zad 2: Brak miejsc zerowych. Równanie $\arcsin x = 2$ jest sprzeczne, ponieważ maksymalna wartość funkcji $\arcsin x$ wynosi $\frac{\pi}{2}$ (a $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$).
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Rysowanie wykresów funkcji – część I
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Narysuj wykres funkcji: $f(x) = 2\sin\left|x – \frac{\pi}{6}\right| + 1$
- Narysuj wykres funkcji: $f(x) = \frac{-|\cos x|}{2\cos x} + 3$
Zad 1: Wykres jest symetryczny względem prostej $x = \frac{\pi}{6}$, a jego zbiór wartości to $ZW = [-1, 3]$.
Zad 2: Dziedzina to $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Wykres to zbiór poziomych odcinków (z pustymi kółkami na końcach) na wysokości $y = 2{,}5$ (dla $\cos x > 0$) oraz $y = 3{,}5$ (dla $\cos x < 0$).
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Rysowanie wykresów funkcji – część II
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Narysuj wykres funkcji: $f(x) = 2\sqrt{|x| + 3} – 1$
- Narysuj wykres funkcji: $f(x) = \left|\log_{\frac{1}{3}}(x + 2) – 1\right| – 3$
Zad 1: Wykres jest symetryczny względem osi $OY$ (funkcja parzysta). Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych ($x \in \mathbb{R}$), a zbiór wartości to $ZW = [2\sqrt{3} – 1, \infty)$.
Zad 2: Dziedzina to $x \in (-2, \infty)$, a pionową asymptotą wykresu jest prosta $x = -2$. Zbiór wartości po wszystkich przekształceniach to $ZW = [-3, \infty)$.
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Funkcje złożone
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Napisz wzór funkcji określający funkcję złożoną $f \circ g$ oraz podaj jej zbiór wartości gdy $f(x) = x^2 – 3x + 2$ oraz $g(x) = 3^{2x-1}$
- Napisz wzór funkcji określający funkcję złożoną $g \circ f$ oraz podaj jej zbiór wartości gdy $f(x) = 3x^4$ oraz $g(x) = 5\sqrt{x – 1}$
Zad 1: Wzór: $(f \circ g)(x) = 3^{4x-2} – 3^{2x} + 2$, Zbiór wartości: $ZW = \left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$
Zad 2: Wzór: $(g \circ f)(x) = 5\sqrt{3x^4 – 1}$, Zbiór wartości: $ZW = [0, \infty)$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Funkcje odwrotne
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Podaj wzór funkcji odwrotnej $f^{-1}$ do danej funkcji o wzorze $f(x) = 8 + 2^x$
- Podaj wzór funkcji odwrotnej $f^{-1}$ do danej funkcji o wzorze $f(x) = 4\sqrt{x – 2} – 2$
Zad 1: Wzór funkcji odwrotnej: $f^{-1}(x) = \log_2(x – 8)$ dla $x \in (8, \infty)$.
Zad 2: Wzór funkcji odwrotnej: $f^{-1}(x) = \frac{(x + 2)^2}{16} + 2$ dla $x \in [-2, \infty)$.
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Rozwiązywanie równań – powtórzenie – część I
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż równanie: $-x^{10} + 3x^5 – 2 = 0$
- Rozwiąż równanie: $x^4 – 3 – |x^2 – 1| = 0$
Zad 1: Rozwiązania równania to: $x = 1$ oraz $x = \sqrt[5]{2}$
Zad 2: Rozwiązania równania to: $x = -\sqrt{2}$ oraz $x = \sqrt{2}$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Rozwiązywanie równań – powtórzenie – część II
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż równanie: $5^{2x} – 6 \cdot 5^x + 5 = 0$
- Rozwiąż równanie: $\log_2(x + 3) = 1 + \log_2(x – 1)$
Zad 1: Rozwiązania równania to: $x = 0$ oraz $x = 1$
Zad 2: Rozwiązanie równania to: $x = 5$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Rozwiązywanie nierówności – powtórzenie – część I
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż nierówność: $x^4 + 4x^3 – 9x^2 – 36x > 0$
- Rozwiąż nierówność: $2x(x + 1)^7(3x – 15)^2(10x + 30) \le 0$
Zad 1: Rozwiązaniem nierówności jest przedział: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 0) \cup (3, \infty)$
Zad 2: Rozwiązaniem nierówności jest przedział wraz z pojedynczym punktem: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 0] \cup \{5\}$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Rozwiązywanie nierówności – powtórzenie – część II
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż nierówność: $\log_3^2(x – 2) + \log_3(x – 2) – 2 \ge 0$
- Rozwiąż nierówność: $25^x – 6 \cdot 5^x + 5 \ge 0$
Zad 1: Rozwiązaniem nierówności jest przedział: $x \in \left(2, \frac{19}{9}\right] \cup [5, \infty)$
Zad 2: Rozwiązaniem nierówności jest przedział: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
Wzory Cardano
(Sprawdź swoją wiedzę…)
- Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych przy użyciu wzorów Cardano: $x^3 + 9x – 26 = 0$
- Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych przy użyciu wzorów Cardano: $x^3 + 3x^2 + 6x + 2 = 0$
Zad 1: Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania jest $x = 2$.
Zad 2: Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania jest $x = \sqrt[3]{\sqrt{2} + 1} – \sqrt[3]{\sqrt{2} – 1} – 1$.
Wszystkie schematy rozwiązywania tego typu zadań i analizy warunków znajdziesz w moim kursie:
