Liczby zespolone – ciekawostki, które warto poznać

Mówiąc o liczbach zespolonych, dobrze jest zacząć od ich definicji i zrozumienia, ponieważ są konstruktem sprawiającym często wiele trudności. Czym są więc liczby zespolone? To para liczb rzeczywistych $(a,b)$, którą zwykle przedstawia się jako sumę:

$z = a + bi$, gdzie $i^{2} = -1$

W takim zapisie liczbę $a$ nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast liczbę $b$ częścią urojoną liczby zespolonej z.

Jak postrzegano liczby zespolone na przestrzeni wieków?

Choć najwcześniejsze odniesienia do nich pojawiają się już w pracach Herona z Aleksandrii z I wieku n.e., dopiero w XVI idea liczb zespolonych oraz związanych z nimi pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych stała się naprawdę istotna. Okazało się bowiem, że poprzez dopuszczenie takich pierwiastków można w bardzo łatwy sposób wyprowadzać ogólne wzory do rozwiązywania równań trzeciego i czwartego stopnia. Było to dość zaskakujące dla matematyków, zwłaszcza że w tamtym czasie nie akceptowano w pełni nawet liczb ujemnych.

Sam termin liczby urojone łac. imaginaris zawdzięczamy z kolei Kartezjuszowi, który chciał zaakcentować ich absurdalność, odróżniając je od dobrze znanych liczb rzeczywistych łac. realis. Co ciekawe, liczby zespolone zostały powszechnie uznane oraz odarte z mistyki znacznie później. Ich definicję – mówiącą o tym, że składają się z części rzeczywistej i urojonej – wprowadził dopiero w 1832 roku niemiecki matematyk C.F. Gauss.

Współczesne zastosowanie liczb zespolonych

Nie jest łatwo wyobrazić sobie skuteczne wykorzystanie takich konstrukcji na co dzień. Do czego służą nam zatem liczby zespolone w życiu? Są one niezastąpione w takich dziedzinach jak automatyka i robotyka, optyka, telekomunikacja, chemia czy też medycyna. W elektrotechnice przydają się do opisu obwodów elektrycznych prądu przemiennego, wyrażając jego moc czynną oraz bierną. Dodatkowo znacznie ułatwiają obliczanie prądów zwarciowych, co w praktyce przekłada się na płynną i nieprzerwaną dystrybucję prądu np. do mieszkań.

Innym zastosowaniem liczb zespolonych jest obróbka sygnałów cyfrowych dotyczących nie tylko dźwięku, ale również obrazu. Pomagają one w optymalnej kompresji grafik, eliminacji szumów bądź podbijaniu określonych częstotliwości w konkretnej ścieżce dźwiękowej, a dodatkowo są kluczowe przy tworzeniu efektów filmowych.

Zainteresowała Cię tematyka liczb zespolonych? Chciałbyś dowiedzieć się więcej, ucząc się rozwiązywać nawet najbardziej skomplikowane zadania? Zapraszam na moje kursy oraz kanał na YouTube AjkaMAT już dziś!