Okrąg i koło – Czym się różnią? Wzory, przykłady i zadania
Jeśli chcesz poznać różnicę pomiędzy okręgiem a kołem, to jesteś w dobrym miejscu. W tym artykule znajdziesz podstawowe wzory związane z okręgiem, kołem czy wycinkiem kołowym. Poszerzysz bądź utrwalisz swoją wiedzę związaną z najważniejszymi kątami występujących w kole. Ponadto poznasz własności i twierdzenia, które ułatwię Ci naukę matematyki z tej części planimetrii.
Spis treści:
Wprowadzenie
Na początku poruszmy pewien aspekt kulinarny… Mówi się przez żołądek do serca!!! Należałoby sprostować przez żołądek do serca i … matematyki 😊
Otóż wchodząc do pizzerii niejednokrotnie zdarzyło Ci się zjeść pizzę przypuszczam… mniam mniam… pychotka. Ale czy zastanawiałeś się nad tym jedząc te pyszności czy może to kształt okręgu czy koła? Czy to w ogóle jest różnica? A może „przekąsiłeś” wczoraj wycinek koła?
Otóż to właśnie jest szukanie matematyki w otaczającym nas świecie… ona jest wszędzie, nawet w pizzerii. Jednym słowem matematyka nas zdominowała!!! 😊Nie ważne czy jesteś uczniem podstawówki, szkoły średniej, studentem, a może żadną z wymienionych osób, a chcesz dowiedzieć się po prostu czym różni się koło od okręgu, poznać podstawowe wzory, twierdzenia, własności, ciekawostki z „okrągłego świata”, przeczytaj dalszą część artykułu i usystematyzuj swoją wiedzę!!!
Czym się różni koło od okręgu?
Definicja okręgu:
Okrąg jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są odległe od środka okręgu (ustalonego punktu $S$) o tą samą wielkość, zwaną promieniem $r$.
Jako przykład może nam posłużyć pierścionek, obwarzanek, hula-hop, obręcz do koszykówki, itp.
Uwaga:
- Choć często w zadaniach występują przykładowe punkty $A$ czy $B$, należące do okręgu tzn. $|AS|=|BS|=r$, jednakże tych punktów, które należą do okręgu jest nieskończenie wiele.
- Punkt $S$ nie należy do okręgu.
- Często występujący w literaturze matematycznej zapis to $o(S,r)$, czyli okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$
Definicja koła:
Koło jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od środka $S$ jest mniejsza lub równa długości promienia $r$.
Jako przykład może nam posłużyć kieszonkowe lusterko, mydełko, moneta, pokrywka od słoika, tarcza zegara, itp.
Uwaga:
- Koło składa się z nieskończonej ilości punktów np. spełniających warunek
- Punkt należy do koła.
- Zapis matematyczny to , czyli koło o środku w punkcie i promieniu
Podstawowe wzory:
Długość okręgu:
Czy kiedykolwiek zastanawiałeś się nad tym, że gdybyś wziął nitkę i spróbował na danym okręgu ją „nałożyć” tak aby przykryła ona okrąg całkowicie i nie wystawała poza okrąg, to jaka byłaby jej długość? Otóż można to szybko policzyć stosując wzór na długość okręgu tj.
$L=2 \pi r$
gdzie $L$ jest długością danego okręgu, $r$ promieniem tego okręgu, zaś $\pi$ jest stałą liczbą zwaną ludolfiną, wynoszącą około $3,14$.
Ciekawostka: Poczytaj informacje na temat liczby $\pi$, których mnóstwo w Internecie. O tej liczbie piszą wiersze, rymowanki, piosenki. Może warto poświęcić na to chwilę?
Pole koła
Jako, że koło jest to figura płaska zamknięta, będzie można policzyć jego powierzchnię stosując odpowiedni wzór, mianowicie:
$P=\pi r^2$
gdzie $P$ jest polem danego koła, $r$ promieniem tego koła, zaś $\pi$ jest liczbą stałą (patrz powyżej).
Uwaga:
Za pomocą wzoru na długość okręgu możemy policzyć obwód koła wykorzystując wzór $L=2\pi r$
Przykład 1:
Oblicz pole koła o promieniu długości $4\sqrt{3} cm$
Rozwiązanie:
Skoro dany jest promień koła to możemy zapisać: $r=4\sqrt{3} cm$. Podstawiając do wzoru na pole koła otrzymujemy:
$P=\pi r^2$
$P=\pi(4\sqrt{3})^2$
$P=\pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$
$P=\pi \cdot 16 \cdot 3$
$P= \pi \cdot 48= 48\pi$
Odpowiedź: Pole koła jest równe $48\pi cm^2$
Przykład 1:
Oblicz pole koła o promieniu długości $4\sqrt{3} cm$
Rozwiązanie:
Skoro dany jest promień koła to możemy zapisać: $r=4\sqrt{3} cm$. Podstawiając do wzoru na pole koła otrzymujemy:
$P=\pi r^2$
$P=\pi(4\sqrt{3})^2$
$P=\pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$
$P=\pi \cdot 16 \cdot 3$
$P= \pi \cdot 48= 48\pi$
Odpowiedź: Pole koła jest równe $48\pi cm^2$.
Przykład 2:
Wiedząc, że pole koła wynosi $60\pi$, oblicz jego obwód.
Rozwiązanie:
Skoro w zadaniu jest podane pole koła skorzystajmy z poznanego wzoru: $P=\pi r^2$, zatem podstawiając dane z treści zadania otrzymujemy:
$60\pi=\pi r^2$ co po zmianie stron daje
$\pi r^2=60\pi /: \pi $ dzieląc obustronnie przez $\pi$ otrzymujemy
$r^2=60$
$r=\sqrt{60}=\sqrt{4 \cdot 15}=2\sqrt{15}$
Ostatecznie: $L=2\pi r=2\pi \cdot 2\sqrt{15}=4\pi\sqrt{15}$
Odpowiedź: Obwód koła jest równe $4\pi\sqrt{15}$.
Cięciwa… a co to takiego?
Definicja cięciwy:
Cięciwa okręgu $c$ jest to odcinek łączący dwa dowolne punkty leżące na okręgu, tj. $c=|AB|$. Najdłuższa z możliwych cięciw to średnica, której długość jest równa $2r$, jeśli $r$ to promień danego okręgu. Zatem łatwo zauważyć, że $c\in (0,2r]$
Wskazówka:
Aby obliczyć długość cięciwy okręgu (nie będącej średnicą), należy poprowadzić odcinki łączące końce cięciwy ze środkiem okręgu. Powstały wówczas trójkąt jest równoramienny, a cięciwa jest jego podstawą. Teraz już w zależności co wiemy o tym trójkącie, możemy działać.
Przykład 3:
Oblicz długość cięciwy $AB$ okręgu $o(S,r)$, jeśli $r=4cm$ oraz $|\angle ASB|=120^\circ$
Rozwiązanie:
Dla trójkąta $AVS$ zastosujemy twierdzenie cosinusów tj.:
$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos{\alpha}$
$c^2=4^2+4^2-2\cdot4 \cdot 4 \cdot \cos{120^\circ}$
$c^2=16+16-32\cdot(-\cos{60^\circ})$
$c^2=32-32 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$c^2=32+16$
$c^2=48$
$c=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$
Odpowiedź: Długość cięciwy $AB$ wynosi $4\sqrt{3}cm$.
Uwaga: Pomyśl jak innym sposobem obliczyć długość tej cięciwy, omijając twierdzenie cosinusów.
Długość łuku
Czy jako dziecko zdarzyło Ci się może strzelać z procy? Jeśli tak, to zapewne wiesz do czego teraz chcę nawiązać. Łuk jest to bowiem pewna część całego okręgu, zatem aby policzyć długość łuku będziemy musieli zastanowić się nad tym jak dużą częścią całego okręgu jest dany łuk. Do obliczenia długości łuku będziemy posługiwać się wzorem:
$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$
gdzie $l$ jest długością łuku okręgu, $r$ promieniem tego okręgu, $\pi$ jest liczbą stałą, zaś $\alpha$ jest kątem środkowym ściśle związanym z danym łukiem.
Uwaga:
- Skoro łuk to część okręgu, zatem $\frac{\alpha}{360^\circ}$ występujące we wzorze na $l$ za to odpowiada
- Długość całego okręgu to $2\pi r$, dlatego też występuje w powyższym wzorze
- Czasem w literaturze matematycznej zamiast $l$ pojawia się $d$ lub $L$, nie daj się zmylić 😊
Wycinek koła
Wspomniałam na początku coś o pizzy, nie? Kiedy ją kroimy, tworzymy właśnie wycinki koła. Zatem wycinek koła to nic innego jak część koła, ograniczona przez dwa promienie wychodzące ze środka okręgu. Jak policzyć powierzchnię takiego pysznego kawałka pizzy? Już daje przepis… Ale nie na pizzę, tylko na jej pole.
$P_{w}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$
gdzie $P_{w}$ jest polem wycinka koła, $r$ promieniem tego koła, $\pi$ jest liczbą stałą, zaś $\alpha$ jest kątem środkowym ściśle związanym z danym wycinkiem.
Uwaga:
- Skoro wycinek to część koła, zatem $\frac{\alpha}{360^\circ}$ występujące we wzorze na $P_{w}$ za to odpowiada
- Pole całego koła to $\pi r^2$, dlatego też występuje w powyższym wzorze
Przykład 4:
Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $r=1,2cm$ oraz kącie środkowym $235^\circ$
Rozwiązanie:
Zastosujmy wzór na długość łuku i podstawmy dane z treści przykładu, mianowicie:
$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$
$l=\frac{135^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi \cdot 1,2$
$l=\frac{3}{8}\cdot 2,4\pi$
$l=\frac{7,2}{8} \pi$
$l=\frac{72}{80}\pi$
$l=0,9\pi$
Odpowiedź: Długość łuku jest równa $0,9\pi cm$.
Przykład 5:
Wyznacz długość promienia koła, wiedząc, że pole wycinka kołowego o kącie środkowym $40^\circ$ wynosi $12\pi$.
Rozwiązanie:
Zastosujmy wzór na pole wycinka koła i ułóżmy równanie z niewiadomą $r$, aby je rozwiązać, zatem:
$P_{w}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$
$12\pi=\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot \pi r^2$ dzieląc obustronnie przez $\pi$ i skracając
$12=\frac{1}{9}\cdot r^2 | \cdot 9$
$r^2=108$
$r=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$
Odpowiedź: Promień okręgu ma długość $6\sqrt{3}$.
Najważniejsze kąty w kole
Kąt dopisany $\gamma$ – jest to kąt między styczną do okręgu $k$, a jego cięciwą $AB$ wychodzącą z punktu styczności z prostą.
Ważne: Łuk $AB$ jest zawarty w kącie $\gamma$ (mówimy, że kąt $\gamma$ jest oparty na łuku $AB$)
Najważniejsze twierdzenia związane z kątami w kole
Twierdzenie nr 1: Kąty wpisane oparte na tych samych łukach, mają równe miary.
Twierdzenie nr 2: Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany, ma miarę dwa razy większą.
Zgodnie z definicjami: $\beta=2\alpha$
Twierdzenie nr 3: Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.
Ważne: Kąt oparty na średnicy to inaczej kąt oparty na półokręgu. Zgodnie z definicją: $\alpha=90^\circ$
Twierdzenie nr 4: Kąt dopisany ma miarę równą kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku.
Zgodnie z definicją: $\gamma=\alpha$
Przykład 6:
Kąt środkowy i wpisany w kole są oparte na tym samym łuku. Oblicz ich miary jeśli ich potrojona suma wynosi $540^\circ$
Rozwiązanie:
Stosujemy twierdzenie nr 2, ponieważ jest mowach w zadaniu o kącie środkowym i wpisanym, które są oparte na tym samym łuku. Przyjmijmy oznaczenia jak w definicji tzn. $\alpha$ to kąt wpisany, zaś $\beta$ to kąt środkowy. Zatem:
$3\cdot(\alpha+\beta)=540^\circ$
$3\cdot(\alpha+2\alpha)=540^\circ$
$3\cdot(3\alpha)=540^\circ$
$9\alpha=540^\circ |: 9$
$\alpha=60^\circ$ zatem $2\alpha=120^\circ$
Odpowiedź: Kąt środkowy ma miarę $120^\circ$, zaś kąt wpisany miarę $60^\circ$.
Przykład 7 (Maj matura CKE 2023/ zadanie 21/ 1pkt.)
Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa:
A. $10^\circ$ B. $20^\circ$ C. $35^\circ$ D. $40^\circ$
Rozwiązanie:
Odwiedź mój kanał na YouTube aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania.
Przykład 8
W okrąg o środku $S$ wpisano trójkąt równoramienny $ABC$ o kącie przy podstawie $AB$
równym $40^\circ$. Oblicz miarę kąta wypukłego $ABS$.
Rozwiązanie:
Odwiedź moją stronę internetową ajkamat.pl i dołącz do mojego kurs online z planimetrii i zobacz jak łatwo to ogarnąć
