Pewniaki maturalne z matematyki (Podstawa) + Najczęstsze błędy | AjkaMAT
Pewniaki maturalne z matematyki: Zestawy zadań, rozwiązania wideo i najczęstsze błędy! 🚀
Hejka Kochani! 👋
Czas ucieka, do matury z matematyki zostało już naprawdę niewiele, a stres powoli zaczyna dawać o sobie znać? Spokojnie, weźcie głęboki oddech! Wiem, jak dużo wysiłku włożyliście w przygotowania w ciągu ostatnich lat. Każda zarwana noc, każda zapisana kartka papieru i każda obejrzana lekcja wideo – to wszystko ma ogromne znaczenie. Nawet jeśli teraz w Waszych głowach pojawia się ta okropna myśl: „nic nie umiem” (to klasyczny objaw przedmaturalny, uwierzcie mi!), Wasza wiedza tam jest. Jesteście mądrzy, pracowici i absolutnie dacie sobie z tym radę. Matura to tylko egzamin, a nie wyrok. Jesteście przygotowani o wiele lepiej, niż Wam się wydaje! ❤️
Aby pomóc Wam uporządkować tę wiedzę i zdjąć z Was resztki presji, przygotowałam dla Was coś specjalnego. Zamiast wertować grube zbiory i tracić czas na zadania, które nigdy nie pojawiają się w arkuszach CKE, skupimy się na konkretach. Przygotowałam dla Was trzy autorskie zestawy, w których znajdziecie wyłącznie pewniaki maturalne z matematyki na poziomie podstawowym. Znajdziecie w nich dokładnie te typy zadań, które CKE uwielbia dawać z roku na rok. Ale zanim przejdziemy do rozwiązywania (krok po kroku, razem ze mną na wideo!), musimy omówić jedną kluczową sprawę.
Spis treści
⚠️ Najczęstsze pułapki na maturze z matematyki. Na czym tracicie punkty?
Nawet najlepiej przygotowani maturzyści tracą punkty przez stres i pośpiech. Analizując Wasze próbne arkusze i układając te zadania maturalne z matematyki, zebrałam dla Was listę „haczyków”, na które musicie uważać:
- Zawsze wyznaczajcie dziedzinę! Zanim zaczniecie cokolwiek skracać w ułamkach algebraicznych, musicie wyrzucić liczby, które zerują mianownik. Pamiętajcie moją złotą zasadę: pamiętaj cholero, nie dziel przez zero! 😉
- Wartość bezwzględna i potęgi – nie gubcie znaków. Kiedy opuszczacie moduły, musicie oszacować, co jest większe, żeby poprawnie określić znak. Jeden zgubiony minus potrafi popsuć całe zadanie i zabrać cenne punkty na egzaminie.
- Czytanie z wykresów nie z tej osi. Kiedy CKE prosi Was o zbiór wartości, patrzycie na oś Y! Kiedy pytają o dziedzinę – patrzycie na oś X. Niby banał, a w stresie potrafi się pomylić.
- Strach przed zadaniami otwartymi. Optymalizacja czy dowody algebraiczne wyglądają strasznie, ale to darmowe punkty! W zadaniach na dowodzenie często wystarczy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, a w optymalizacji ułożyć prostą funkcję kwadratową i policzyć jej wierzchołek. Nie zostawiajcie pustych kartek!
Skoro już wiemy, na co uważać, bierzemy się do pracy! Przygotujcie kolorowe długopisy, czyste kartki i lecimy z pewniakami! 💪
🟡 ZESTAW 1: Pewniaki przed maturą podstawową – część I
W pierwszej części bierzemy na warsztat absolutne fundamenty. Rozpykamy tutaj odczytywanie własności funkcji bezpośrednio z wykresów, sprawdzimy, jak radzicie sobie ze statystyką (uważajcie na medianę i dominantę z tabeli!) oraz wejdziemy w geometrię – zarówno tę płaską (trójkąty podobne, kąty w okręgu), jak i przestrzenną (ostrosłupy).
Zadanie 1
Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x)=\begin{cases} -x^2 – 4x & \text{dla } x \in [-5, -1] \\ 2x + 1 & \text{dla } x \in (-1, 3] \end{cases}$$
Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku.
Zadanie 1.1 Wyznacz maksymalne przedziały w których funkcja $f$ jest rosnąca
Zadanie 1.2 Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$
Zadanie 1.3 Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) \ge 0$
Zadanie 2
Dana jest nierówność:
$$\frac{4-x}{3} < \frac{2x+1}{5}$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największą liczbą całkowitą, która nie spełnia podanej nierówności, jest liczba:
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Zadanie 3
W tabeli podano oceny (w skali 1–6), jakie przyznali użytkownicy nowej aplikacji mobilnej. W ankiecie wzięło udział 200 użytkowników, z których każdy wystawił tylko jedną ocenę.
| Ocena | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Liczba użytkowników | 15 | 25 | 40 | 65 | 35 | 20 |
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
- Mediana ocen przyznanych aplikacji jest równa …………… .
- Dominanta ocen przyznanych aplikacji jest równa …………… .
- Ocenę „co najmniej 4” wystawiło …………… % użytkowników.
Zadanie 4
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Suma pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu jest o 36 większa od sumy jego pierwszych siedmiu wyrazów. Suma $a_8 + a_9 + a_{10}$ jest równa:
A. 36 B. 12 C. 18 D. 72
Zadanie 5
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są punkty $A = (-20, 15)$ oraz $B = (40, -10)$. Punkt $M$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem osi $Oy$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $B$ w symetrii względem prostej $y = 5$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej przechodzącej przez punkty $M$ i $N$ jest równy:
A. $\frac{1}{4}$ B. $-\frac{1}{4}$ C. 4 D. $-4$
Zadanie 6
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $(2\sqrt[4]{48} – 3\sqrt[4]{243})^4$ jest równa:
A. 15 B. -5 C. 625 D. 1875
Zadanie 7
Punkty $A, B, C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $M$ jest punktem przecięcia cięciwy $AC$ i średnicy $BD$. Kąt środkowy $COB$ ma miarę 60°, a kąt $AMD$ ma miarę 80°. (patrz rysunek)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $BDA$ jest równa:
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
Zadanie 8
W trójkącie $ABC$ dane są długości boków: $|AC| = 5$ oraz $|BC| = 3$, a miara kąta między nimi wynosi $|\measuredangle ACB| =$ 60°. Trójkąt $DEF$ jest podobny do trójkąta $ABC$, przy czym $|AB| : |DE| = 1 : 2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku $DE$ trójkąta $DEF$ jest równa:
A. $2\sqrt{19}$ B. 38 C. $\sqrt{34}$ D. $2\sqrt{34}$
Zadanie 9
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym wysokość podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10
Długości dwóch różnych wysokości równoległoboku są równe 3 oraz 4, a obwód tego czworokąta wynosi 28.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole tego równoległoboku jest równe:
A. 12 B. 24 C. 28 D. 42
Zadanie 11
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $[-2, 5)$. Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = f(x + 4)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dziedziną funkcji $g$ jest przedział:
A. $(-6, 1]$ B. $[2, 9)$ C. $[-6, 1)$ D. $(2, 9]$
Link do pobrania zestawu w formacie PDF
Gotowi, żeby sprawdzić swoje rozwiązania? Włączcie poniższe wideo, na którym tłumaczę każde z tych zadań krok po kroku! Nic przed Wami nie ukrywam! 🎬
🟡 ZESTAW 2: Pewniaki przed maturą podstawową – część II
Rozkręcamy się! W drugim zestawie pojawia się prawdziwa maturalna królowa: optymalizacja z pudełkiem. Nie bójcie się tego zadania, na wideo pokażę Wam, jak je rozwalić, żeby zgarnąć komplet punktów. Poćwiczymy też dowodzenie, równania z potęgami i geometrię analityczną na układzie współrzędnych. To są zadania powtórkowe z matematyki, które często ratują wynik, jeśli brakuje Wam kilku procent do wymarzonego progu!
Zadanie 1
Pracownia rękodzielnicza projektuje nowe, otwarte od góry pudełka ekspozycyjne na swoje ekologiczne świece sojowe. Do ich produkcji używa prostokątnych arkuszy twardej tektury o wymiarach 50 cm x 30 cm. W każdym z czterech rogów arkusza wycina się identyczne kwadraty, a następnie zagina wystające brzegi do góry, tworząc prostopadłościenne pudełko bez przykrywki (patrz rysunek).
Właścicielce zależy na tym, aby na zewnętrznych ściankach bocznych pudełka umieścić jak największe ozdobne naklejki z logo firmy. W tym celu pole całkowitej powierzchni bocznej sklejonego pudełka musi być maksymalne. Oblicz, jakiej długości bok powinny mieć wycinane w rogach kwadraty, aby powierzchnia boczna pudełka była największa. Oblicz to maksymalne pole. Jakie są ograniczenia na wymiary wycinanego kwadratu w tej konkretnej sytuacji? Zapisz obliczenia.
Zadanie 2
Wykaż, że liczba $a = \frac{1}{2} \cdot 16^5 – 4 \cdot 2^{15}$ jest wielokrotnością liczby 24.
Zadanie 3
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = m + 5 + (2m – 8)x$ gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Funkcja $f$ jest rosnąca dla każdej liczby $m$ należącej do przedziału $(4, +\infty)$ | P | F |
| Wykres funkcji $f$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 4)$ dla $m = 1$ | P | F |
Zadanie 4
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa $-3$ oraz $a_{15} = -42$. Ósmy wyraz tego ciągu jest równy:
A. $-63$ B. $-24$ C. $-21$ D. $-18$
Zadanie 5
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wierzchołki trójkąta $ABC$ mają współrzędne: $A = (-5, -2)$, $B = (7, 2)$ oraz $C = (-1, 6)$.
Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$. Zapisz obliczenia.
Zadanie 6
Równanie $(9x^2 – 81) \cdot (k – 3x)^3 = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Liczba $k$ może być równa:
A. 3 B. 9 C. 27 D. 81
Zadanie 7
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\left| \left| \frac{3}{2} – \sqrt{2} \right| – \left| \sqrt{3} – \sqrt{2} \right| \right|$ jest równa:
A. $\sqrt{3} – \frac{3}{2}$ B. $\frac{3}{2} – \sqrt{3}$ C. $\frac{3}{2} – \sqrt{2}$ D. $\sqrt{3} – \sqrt{2}$
Zadanie 8
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem rozwartym $\alpha$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta $\alpha$ jest równy:
A. $\frac{1}{2}$ B. $-\frac{1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Zadanie 9
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 4, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 8, jest:
A. 140 B. 66 C. 72 D. 84
Zadanie 10
Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\beta$, takim, że $tg\beta = \sqrt{3}$. Wysokość tego prostopadłościanu jest równa $4\sqrt{3}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego prostopadłościanu wynosi:
A. $16\sqrt{3}$ B. $8\sqrt{3}$ C. 8 D. 16
Zadanie 11
W trapezie prostokątnym jedna z podstaw jest cztery razy dłuższa od drugiej. Krótsza przekątna tego trapezu jest prostopadła do jego dłuższego ramienia.
Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych tego trapezu. Zapisz obliczenia.
Jeśli optymalizacja czy moduły wciąż budzą Wasze przerażenie, klikajcie play i lecimy z tematem:
Link do pobrania zestawu w formacie PDF
Gotowi, żeby sprawdzić swoje rozwiązania? Włączcie poniższe wideo, na którym tłumaczę każde z tych zadań krok po kroku! Nic przed Wami nie ukrywam! 🎬
🟡 ZESTAW 3: Pewniaki przed maturą podstawową – część III
Wielki finał naszej trylogii! W trzeciej części domykamy powtórkę do matury z matematyki. Skupimy się na procentach (klasyczne zadanie z biletami i zyskami), dorzucimy do tego ciągi ukryte w trygonometrii, równanie okręgu i prawdopodobieństwo z losowaniem kartek. To zestaw, który idealnie zamyka całą podstawę i pokazuje przekrój tego, czego możecie spodziewać się na arkuszu w maju.
Zadanie 1
Kino studyjne po każdym weekendzie przeznacza jedną piątą swoich przychodów ze sprzedaży biletów na opłaty licencyjne za wyświetlane filmy. Kino oferuje dwa rodzaje biletów: normalne i ulgowe. Cena biletu normalnego jest o 50% wyższa od ceny biletu ulgowego. W miniony weekend kino sprzedało 400 biletów normalnych oraz 600 biletów ulgowych. Na opłaty licencyjne kino przeznaczyło 4800 zł z przychodów uzyskanych ze sprzedaży tych biletów. Oblicz cenę biletu ulgowego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2
Dane są funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ takie, że $f(x) = x^2 – 2x – 2$ oraz $g(x) = x + 2$. Rozwiąż nierówność $f(x) + x \le g(x) – 1$. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (-1)^{n+3} \cdot \frac{4n+8}{n+1}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Wyznacz wszystkie wartości $x$, dla których trzywyrazowy ciąg: $(9, x – 2, a_3)$ jest geometryczny. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4
Przez początek kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ przechodzi okrąg o środku w punkcie $S = (3, -4)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg ten opisuje równanie:
A. $(x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 5$ C. $(x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$
B. $(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 25$ D. $(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 5$
Zadanie 5
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Jeśli $d_1 = \sqrt[3]{8}$ oraz $d_2 = \log_3 4$ wówczas $d_1 \cdot d_2 = \log_3 8$ | P | F |
| Jeśli $w_1 = (-1)^2$ oraz $w_2 = \log_3 5$ wówczas $w_1 + w_2 = \log_3 15$ | P | F |
Zadanie 6
Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\cos\alpha = -\frac{2}{3}$. Oblicz wartość wyrażenia $W = \frac{54\cos^3\alpha – 1}{2tg\alpha}$. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7
Dany jest trójkąt prostokątny, którego pole jest równe 480, a jedna z jego przyprostokątnych ma długość 20.
Zadanie 7. 1
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa:
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
Zadanie 7. 2
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa:
A. 24 B. 26 C. 30 D. 52
Zadanie 8
Papierowa czapka urodzinowa ma kształt stożka. Przekrój osiowy tego stożka jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt między ramieniem, a podstawą ma miarę 30°. Średnica podstawy tej czapki jest równa 18 $cm$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tej czapki urodzinowej wynosi:
A. $9\sqrt{3}\ cm$ B. $4,5\ cm$ C. $3\sqrt{3}\ cm$ D. $6\sqrt{3}\ cm$
Zadanie 9
Jasiu ma w pudełku siedem identycznych kartek. Na każdej kartce zapisana jest inna liczba ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Doświadczenie losowe polega na tym, że Jasiu losuje z pudełka kolejno dwie kartki bez zwracania. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma wylosowanych przez Jasia liczb będzie podzielna przez 4 lub iloczyn wylosowanych liczb będzie mniejszy od 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-8$, różnej od $0$ oraz różnej od $8$, wartość wyrażenia
$$\frac{64 – x^2}{x^2 – 16x + 64} : \frac{x^2 + 8x}{3x – 24}$$
jest równa wartości wyrażenia:
A. $\frac{-x}{3}$ B. $\frac{-3}{x}$ C. $\frac{-3}{x+8}$ D. $-\frac{3x-24}{x}$
Zróbcie te zadania samodzielnie, a potem sprawdźcie na wideo, czy Wasz tok myślenia był prawidłowy:
Link do pobrania zestawu w formacie PDF
Gotowi, żeby sprawdzić swoje rozwiązania? Włączcie poniższe wideo, na którym tłumaczę każde z tych zadań krok po kroku! Nic przed Wami nie ukrywam! 🎬
Ostatnia prosta – damy radę! ❤️
Moi Drodzy, zrobienie tych trzech zestawów samodzielnie i przeanalizowanie moich rozwiązań na wideo to potężny krok w stronę zdanego egzaminu. Pamiętajcie, matematyka to w dużej mierze wyćwiczone schematy. Im więcej takich pewniaków rozwiążecie, tym mniej rzeczy zaskoczy Was w dniu matury. Odetchnijcie głęboko. Jesteście świetni i zrobiliście już ogromny kawał dobrej roboty!
Jeśli czujecie, że potrzebujecie pomocy od podstaw, chcecie uczyć się razem ze mną krok po kroku z pełnym wsparciem i zyskać jeszcze więcej pewności siebie, wpadajcie koniecznie na moje kompleksowe kursy online na ajkamat.pl/kursy. Tam nie tylko rozwiązujemy zadania, ale budujemy całe matematyczne zrozumienie od zera, bez grama stresu!
Koniecznie dołączcie też do naszej darmowej grupy na Facebooku: „Matura z AjkaMAT”, gdzie znajdziecie te i wiele innych arkuszy w wygodnym formacie PDF do druku.
Który z tych trzech zestawów sprawił Wam najwięcej trudności? Dajcie znać w komentarzach! Przytulam mocno, trzymam kciuki za Waszą naukę i do zobaczenia na kolejnej lekcji! 🎓
Wasza AjkaMATka…
