Całki to najczęstszy powód poprawki z analizy. Przerób je z AjkaMat na pełnym kursie wideo.

Matematyka na studiach Całki od A do Z - kurs online dla studentów

17 lekcji wideo - od całki nieoznaczonej po oznaczoną
Podstawianie, całkowanie przez części, ułamki proste
Rozwiązania rozpisane krok po kroku, jak na tablicy

Zobacz kurs

Matematyka na studiach Matematyka dla studenta - kurs TOP 5 działów

64 lekcje w pięciu najczęściej zdawanych działach
Całki, pochodne, granice, macierze i liczby zespolone
Cały materiał na kolokwium i egzamin w jednym miejscu

Zobacz kurs

Wpisz funkcję podcałkową w pole f(x) i kliknij Całkuj - kalkulator poda całkę nieoznaczoną wraz ze stałą $C$. Potęgę zapisujesz daszkiem (x^2), mnożenie gwiazdką (x*e^x), pierwiastek jako sqrt(x).

Żeby policzyć całkę oznaczoną, uzupełnij granice od a i do b i kliknij Oblicz. Wynik liczymy numerycznie (metodą Simpsona), więc pojawi się nawet wtedy, gdy funkcji pierwotnej nie da się zapisać wzorem.

Przyciski „Pokaż kroki" rozwijają rozpisanie - osobno dla całki nieoznaczonej i osobno dla oznaczonej. Kroki obejmują wielomiany, $\tfrac{1}{x}$, $\sin$, $\cos$, $e^x$ oraz podstawienie liniowe $f(ax+b)$. Całkowanie przez części i ułamki proste pokazują sam wynik.

Całkowanie to działanie odwrotne do różniczkowania. Szukamy funkcji $F$, której pochodna daje naszą funkcję: $F'(x) = f(x)$. Taką funkcję nazywamy funkcją pierwotną.

Całka nieoznaczona

Zapis $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ oznacza zbiór wszystkich funkcji pierwotnych. Stała $C$ pojawia się dlatego, że pochodna stałej to zero - przesunięcie wykresu w pionie nie zmienia pochodnej, więc funkcji pierwotnych jest nieskończenie wiele.

Całka oznaczona

Zapis $\int_a^b f(x)\,dx$ to liczba, a nie funkcja. Dla funkcji nieujemnej jest to pole obszaru między wykresem a osią $OX$ na przedziale $[a, b]$. Gdy wykres schodzi pod oś, ten fragment liczy się ze znakiem minus.

Wzór Newtona-Leibniza

Te dwa pojęcia łączy wzór $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$: żeby policzyć całkę oznaczoną, wystarczy znaleźć dowolną funkcję pierwotną i odjąć jej wartości na końcach przedziału. Stała $C$ się skraca - dlatego przy całce oznaczonej jej nie piszemy.

Wzory na całki Tablica całek podstawowych i metod całkowania - do druku, za darmo

Kalkulator całek

Kursy z całek dla studentów

Jak korzystać z kalkulatora całek

Całka nieoznaczona i oznaczona