Drzewo prawdopodobieństwa to sposób na doświadczenia wieloetapowe - takie, w których wynik zależy od tego, co wydarzyło się wcześniej. Każde rozgałęzienie to jeden etap, a każda pełna ścieżka od korzenia do liścia to jeden możliwy przebieg całego doświadczenia.
Dwie reguły, które załatwiają wszystko
Obsługa drzewa sprowadza się do dwóch zasad. Wzdłuż gałęzi mnożymy - prawdopodobieństwo przejścia całej ścieżki to iloczyn prawdopodobieństw na jej odcinkach. Między ścieżkami dodajemy - jeśli kilka różnych dróg prowadzi do tego samego wyniku, ich prawdopodobieństwa sumujemy. Warto to zapamiętać jako „mnożę w dół, dodaję w bok".
Prawdopodobieństwo warunkowe
Zapis $P(B|A)$ czytamy „prawdopodobieństwo $B$ pod warunkiem, że zaszło $A$". Z definicji $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, a po przekształceniu dostajemy regułę mnożenia $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ - i to jest dokładnie ta zasada, według której liczymy ścieżki w drzewie.
Prawdopodobieństwo całkowite
Gdy zdarzenia $A$ i $A'$ dzielą całą przestrzeń na dwie rozłączne części, zachodzi $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A')$. To twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym - w drzewie odpowiada mu po prostu zsumowanie wszystkich ścieżek kończących się na $B$.
Wzór Bayesa - odwrócenie warunku
Wzór Bayesa odpowiada na pytanie odwrotne: znamy wynik i pytamy o przyczynę. $P(A|B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$, gdzie w mianowniku stoi prawdopodobieństwo całkowite. Licznik to pojedyncza ścieżka przez $A$, mianownik to wszystkie ścieżki prowadzące do $B$ - pytamy więc, jaką część drogi do $B$ stanowi ta jedna gałąź.
Najczęstszy błąd
$P(A|B)$ i $P(B|A)$ to różne liczby i mylenie ich jest najczęstszą pomyłką w tym dziale. Widać to na przykładzie testu medycznego: prawdopodobieństwo, że test wyjdzie dodatni u osoby chorej, bywa bardzo wysokie, a mimo to prawdopodobieństwo, że osoba z dodatnim wynikiem jest faktycznie chora, potrafi być niskie - gdy sama choroba jest rzadka. Kalkulator pokazuje obie wartości naraz, więc łatwo tę różnicę zobaczyć.
Zdarzenia niezależne
Szczególny przypadek to $P(B|A) = P(B|A')$ - drugi etap w ogóle nie zależy od pierwszego. Wtedy zdarzenia są niezależne, reguła mnożenia upraszcza się do $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, a $P(A|B)$ wychodzi po prostu równe $P(A)$. Można to sprawdzić w kalkulatorze, wpisując tę samą wartość w oba pola warunkowe.
