Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów: $f(x) = \dfrac{L(x)}{M(x)}$. Całe badanie takiej funkcji kręci się wokół jednego pytania - co się dzieje tam, gdzie mianownik się zeruje, oraz co dzieje się na krańcach dziedziny.
Dziedzina
Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem miejsc zerowych mianownika: $D = \mathbb{R} \setminus \{x : M(x) = 0\}$. Wyznaczenie dziedziny to zawsze pierwszy krok - bez niego dalsze wnioski są niepełne.
Asymptota pionowa
Prosta $x = x_0$ jest asymptotą pionową, gdy przy $x$ dążącym do $x_0$ wartości funkcji uciekają do $+\infty$ lub $-\infty$. Dzieje się tak wtedy, gdy mianownik zeruje się w $x_0$, a licznik nie.
Kiedy zamiast asymptoty jest „dziura"
Jeśli w $x_0$ zerują się jednocześnie licznik i mianownik, to nie ma asymptoty - jest punkt nieciągłości usuwalny. Ułamek daje się wtedy skrócić, a wykres wygląda jak wykres prostszej funkcji z wyciętym jednym punktem. Klasyczny przykład: $\dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1$ dla $x \neq 1$.
Asymptota pozioma i ukośna - reguła stopni
O zachowaniu funkcji w nieskończoności decyduje porównanie stopni. Gdy $\deg L \lt \deg M$, asymptotą poziomą jest $y = 0$. Gdy stopnie są równe, asymptotą poziomą jest $y$ równe ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach. Gdy $\deg L = \deg M + 1$, pojawia się asymptota ukośna $y = ax + b$. A gdy licznik jest wyższy o co najmniej dwa stopnie - nie ma ani poziomej, ani ukośnej.
Jak wyznaczyć asymptotę ukośną
Dzielimy licznik przez mianownik jak wielomian przez wielomian. Otrzymany iloraz (część całkowita, bez reszty) jest równaniem asymptoty ukośnej, bo reszta podzielona przez mianownik dąży do zera przy dużych $|x|$.
Funkcja homograficzna
Najprostszy ważny przypadek to $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ przy $c \neq 0$ - wykresem jest hiperbola. Ma dokładnie jedną asymptotę pionową $x = -\tfrac{d}{c}$ i jedną poziomą $y = \tfrac{a}{c}$, a powstaje z wykresu $\tfrac{1}{x}$ przez przesunięcia i rozciągnięcie.
