Geometria analityczna opisuje figury liczbami: każdy punkt to para współrzędnych, a każda prosta - równanie. Dzięki temu zadania geometryczne rozwiązuje się rachunkiem, bez rysowania i mierzenia. Prawie wszystkie wzory w tym dziale biorą się z jednego pomysłu - z przyrostów $\Delta x = x_B - x_A$ i $\Delta y = y_B - y_A$.
Odległość dwóch punktów
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. To po prostu twierdzenie Pitagorasa: przyrosty $\Delta x$ i $\Delta y$ są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a odcinek $AB$ - jego przeciwprostokątną. Kolejność punktów nie ma znaczenia, bo różnice i tak podnosimy do kwadratu.
Środek odcinka
$S = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$ - zwykła średnia arytmetyczna współrzędnych, liczona osobno dla $x$ i osobno dla $y$. Ten wzór bywa też używany „w drugą stronę": znając środek i jeden koniec, wyznaczamy drugi koniec odcinka.
Współczynnik kierunkowy
$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ mówi, o ile zmienia się $y$, gdy $x$ rośnie o $1$. Dodatni oznacza prostą rosnącą, ujemny - malejącą, a zero - prostą poziomą. Zachodzi też $a = \mathrm{tg}\,\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $OX$.
Dwie postacie równania prostej
Postać kierunkowa $y = ax + b$ jest wygodna, bo od razu widać nachylenie $a$ i punkt przecięcia z osią $OY$, czyli $b$. Ma jednak wadę: nie opisuje prostych pionowych, bo dla nich $\Delta x = 0$ i współczynnik kierunkowy nie istnieje. Postać ogólna $Ax + By + C = 0$ tej wady nie ma - obejmuje każdą prostą, także pionową (wtedy $B = 0$).
Równoległość i prostopadłość
Dwie proste o współczynnikach $a_1$ i $a_2$ są równoległe, gdy $a_1 = a_2$, a prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$. Ten drugi warunek wygodnie zapamiętać jako „odwróć ułamek i zmień znak": prostopadła do prostej o nachyleniu $\tfrac{2}{3}$ ma nachylenie $-\tfrac{3}{2}$.
Odległość punktu od prostej
Mając prostą w postaci ogólnej, odległość punktu $P = (x_0, y_0)$ od niej liczymy wzorem $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. To właśnie dlatego postać ogólna jest tak przydatna - ten wzór działa wyłącznie z jej współczynnikami, a wartość bezwzględna w liczniku gwarantuje wynik nieujemny.
