Kąty w okręgu dzielimy według tego, gdzie leży ich wierzchołek. Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a kąt wpisany - na samym okręgu. Oba mogą być oparte na tym samym łuku, czyli ich ramiona przecinają okrąg w tych samych dwóch punktach.
Twierdzenie o kącie wpisanym
Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku: $\angle APB = \tfrac{1}{2} \angle AOB$. Równoważnie - kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. To jedno z najczęściej wykorzystywanych twierdzeń w zadaniach z okręgami.
Wniosek: wszystkie kąty wpisane są równe
Skoro każdy kąt wpisany oparty na danym łuku równa się połowie tego samego kąta środkowego, to wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają identyczną miarę - bez względu na to, gdzie na łuku stoi ich wierzchołek. Właśnie to widać, przeciągając punkt $P$ w kalkulatorze.
Twierdzenie Talesa jako przypadek szczególny
Gdy cięciwa $AB$ jest średnicą, kąt środkowy wynosi $180^\circ$, więc kąt wpisany to $90^\circ$. Stąd klasyczne sformułowanie: kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Działa to również w drugą stronę - jeśli trójkąt wpisany w okrąg ma kąt prosty, to jego przeciwprostokątna musi być średnicą.
Uwaga na dwa łuki
Cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki, a kąt wpisany zależy od tego, po której stronie stoi wierzchołek. Punkty leżące na jednym łuku dają kąt $\alpha$, a leżące na drugim - kąt $180^\circ - \alpha$. Suma tych dwóch kątów to $180^\circ$ i właśnie stąd bierze się warunek na okrąg opisany na czworokącie: przeciwległe kąty muszą sumować się do $180^\circ$.
Kąt dopisany
Pokrewne twierdzenie dotyczy kąta między styczną a cięciwą: jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie. Można to traktować jako przypadek graniczny - gdy wierzchołek kąta wpisanego dosuwamy do końca cięciwy, jedno ramię staje się styczną.
Po co to w zadaniach
Twierdzenie o kącie wpisanym pozwala przenosić miary kątów w obrębie okręgu - z jednego miejsca figury w zupełnie inne. W zadaniach najczęściej służy do wykazania, że dwa kąty są równe, albo do wyliczenia kąta, którego nie da się zmierzyć wprost, ale który jest oparty na znanym łuku.
