Cała kombinatoryka na maturze sprowadza się do dwóch pytań o sposób wybierania: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać. Odpowiedzi na te dwa pytania jednoznacznie wskazują wzór - i to jest cały trik.
Permutacje - ustawiamy wszystko
Permutacja to ustawienie wszystkich $n$ elementów w kolejności. Jest ich $P_n = n!$, czyli $n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$. Na pierwszym miejscu mamy $n$ możliwości, na drugim już tylko $n-1$ (bo jeden element jest zużyty) i tak dalej - stąd iloczyn malejących liczb.
Wariacje - kolejność ma znaczenie
Wariacja to wybór $k$ elementów z $n$, w którym kolejność jest istotna. Bez powtórzeń jest ich $V_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ - to ten sam iloczyn malejących liczb, tylko urwany po $k$ czynnikach. Z powtórzeniami (element można wziąć kilka razy) jest ich $\bar V_n^k = n^k$, bo za każdym z $k$ razy wybieramy niezależnie spośród pełnych $n$.
Kombinacje - kolejność nie ma znaczenia
Kombinacja to wybór $k$ elementów z $n$, w którym kolejność jest nieistotna - liczy się tylko, kto wszedł do grupy. Jest ich $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Wzór powstaje wprost z wariacji: te same $k$ elementów da się ustawić na $k!$ sposobów, więc każdą grupę policzyliśmy $k!$ razy za dużo i o tyle trzeba podzielić.
Jak wybrać wzór w zadaniu
Praktyczny test: zamień miejscami dwa wybrane elementy. Jeśli powstał inny wynik (na przykład inny numer PIN albo inna kolejność na podium) - kolejność ma znaczenie, czyli wariacje. Jeśli wynik jest ten sam (na przykład ten sam skład komisji albo ten sam zestaw liczb w Lotto) - kolejność nie ma znaczenia, czyli kombinacje.
Symbol Newtona i jego własności
$\binom{n}{k}$ czytamy „$n$ po $k$". Jest symetryczny: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ - wybranie $k$ elementów to to samo, co wskazanie $n-k$ pozostałych. Zachodzi też $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ oraz wzór rekurencyjny $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$, na którym opiera się trójkąt Pascala.
Po co to w prawdopodobieństwie
W prawdopodobieństwie klasycznym $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$ - dzielimy liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich. Obie te liczby wyliczamy właśnie kombinatoryką, dlatego rachunek prawdopodobieństwa zaczyna się od umiejętności zliczania. Rozkład dwumianowy z zakładki „Symulator" też opiera się na symbolu Newtona: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
