Logarytm to pytanie o wykładnik. Zapis $\log_a x = y$ znaczy dokładnie tyle, co $a^y = x$: szukamy liczby, do której trzeba podnieść podstawę $a$, żeby otrzymać $x$. Na przykład $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$.
Założenia
Podstawa musi być dodatnia i różna od jedynki ($a \gt 0$, $a \neq 1$), a liczba logarytmowana dodatnia ($x \gt 0$). Jedynka odpada, bo $1^y$ zawsze daje $1$ - nie dałoby się otrzymać innej liczby.
Własności logarytmu
Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$. Analogicznie dzielenie na odejmowanie: $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$. Wykładnik można wyciągnąć przed logarytm: $\log_a x^k = k \log_a x$.
Zmiana podstawy
Kalkulatory mają zwykle tylko $\ln$ i $\log_{10}$, więc logarytm o dowolnej podstawie liczymy wzorem $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$. Nową podstawę można wybrać dowolnie - wynik wyjdzie ten sam.
Związek z funkcją wykładniczą
Funkcje $a^x$ i $\log_a x$ są wzajemnie odwrotne: jedna cofa to, co robi druga ($a^{\log_a x} = x$). Dlatego ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$ - dokładnie tak, jak widać na wykresie powyżej.
