Kalkulator macierzy i układów równań

Macierz to prostokątna tablica liczb. Zapis $A = [a_{ij}]$ oznacza element w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie. Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn - tylko dla takich mówimy o wyznaczniku i macierzy odwrotnej.

Dodawanie i odejmowanie działa element po elemencie i wymaga tych samych wymiarów. Mnożenie jest inne: element wyniku to iloczyn skalarny wiersza pierwszej macierzy i kolumny drugiej. Uwaga - mnożenie macierzy nie jest przemienne: na ogół $AB \neq BA$.

Wyznacznik $\det A$ to liczba przypisana macierzy kwadratowej. Dla $2\times2$ liczy się go wzorem $\det A = ad - bc$. Kluczowa własność: $\det A \neq 0$ dokładnie wtedy, gdy macierz jest odwracalna, a układ $Ax=b$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

$A^{-1}$ to taka macierz, że $A \cdot A^{-1} = I$, gdzie $I$ to macierz jednostkowa (jedynki na przekątnej, zera poza nią). Gdy $\det A = 0$, macierz odwrotna nie istnieje - dlatego kalkulator zgłasza wtedy błąd zamiast wyniku.

Układ $Ax=b$ z niezerowym wyznacznikiem można rozwiązać wzorami Cramera: $x_i = \dfrac{\det A_i}{\det A}$, gdzie $A_i$ powstaje z $A$ przez zastąpienie $i$-tej kolumny wektorem $b$. To właśnie ten rachunek pokazuje tryb krok po kroku.