W każdy trójkąt da się wpisać dokładnie jeden okrąg i na każdym trójkącie da się opisać dokładnie jeden okrąg. To wyróżnia trójkąty - dla czworokątów i wielokątów o większej liczbie boków wcale tak nie jest i trzeba spełnić dodatkowe warunki.
Okrąg wpisany
Jest styczny do wszystkich trzech boków, a jego środek $I$ to punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Bierze się to stąd, że dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równo oddalonych od jego ramion - punkt wspólny wszystkich trzech dwusiecznych jest więc równo oddalony od wszystkich boków, a ta odległość to właśnie promień $r$.
Skąd wzór $r = \dfrac{P}{s}$
Połącz środek $I$ z każdym wierzchołkiem - trójkąt rozpadnie się na trzy mniejsze, o podstawach $a$, $b$, $c$ i wspólnej wysokości $r$. Sumując ich pola: $P = \tfrac{1}{2}ar + \tfrac{1}{2}br + \tfrac{1}{2}cr = r \cdot \dfrac{a+b+c}{2} = r \cdot s$. Stąd bezpośrednio $r = \dfrac{P}{s}$.
Okrąg opisany
Przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki, a jego środek $O$ to punkt przecięcia symetralnych boków. Symetralna odcinka to zbiór punktów równo oddalonych od jego końców, więc punkt wspólny wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków - i ta odległość to promień $R$.
Gdzie leży środek okręgu opisanego
Jego położenie zależy od rodzaju trójkąta. W ostrokątnym leży wewnątrz, w prostokątnym dokładnie na środku przeciwprostokątnej (stąd $R$ równe jej połowie - to inne sformułowanie twierdzenia Talesa), a w rozwartokątnym wypada na zewnątrz trójkąta. Środek okręgu wpisanego leży zawsze wewnątrz.
Wzory na $R$ i twierdzenie sinusów
$R = \dfrac{abc}{4P}$ wynika wprost z twierdzenia sinusów w rozszerzonej postaci $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$. Ta druga postać bywa w zadaniach szybsza - gdy znamy bok i leżący naprzeciw niego kąt, promień liczy się jednym działaniem.
Trójkąt równoboczny
Wszystkie punkty szczególne (środek okręgu wpisanego, opisanego, środek ciężkości, punkt przecięcia wysokości) pokrywają się w jednym punkcie, a promienie spełniają prostą zależność $R = 2r$. Dla boku $a$ wychodzi $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ i $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ - łatwo to sprawdzić, ustawiając na planszy trójkąt o równych bokach.
