Pochodne to fundament analizy - przerób je z AjkaMat na pełnym kursie wideo.

Matematyka na studiach Rachunek różniczkowy - kurs online dla studentów

24 lekcje wideo z pochodnych i ich zastosowań
Lekcję „Obliczanie pochodnych funkcji" obejrzysz za darmo
Rozwiązania rozpisane krok po kroku, pod kolokwium

Zobacz kurs

Matematyka na studiach Matematyka dla studenta - kurs TOP 5 działów

64 lekcje w pięciu najczęściej zdawanych działach
Rachunek różniczkowy, całki, granice, macierze, liczby zespolone
Cały materiał na kolokwium i egzamin w jednym miejscu

Zobacz kurs

Zadania z rachunku różniczkowegoZadania dla studentów z rozwiązaniami - do przećwiczenia przed kolokwium, za darmo

Wpisz funkcję w pole f(x) i kliknij Policz - dostaniesz od razu pierwszą i drugą pochodną. Potęgę zapisujesz daszkiem (x^3), mnożenie gwiazdką (sin(x)*x), logarytm naturalny jako ln(x), pierwiastek jako sqrt(x).

Pole „Wartość $f'(x)$ w punkcie" podstawia liczbę do policzonej pochodnej - przydaje się przy szukaniu ekstremów i przy równaniu stycznej.

Przycisk „Pokaż kroki" rozwija rozpisanie różniczkowania: która reguła jest użyta i dlaczego. Kroki obejmują wielomiany oraz złożenia z $\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$, $e^x$, $\ln$ i $\sqrt{\ }$. Sam wynik $f'(x)$ liczony jest zawsze, nawet gdy rozpisanie jest poza zakresem.

Pochodna mówi, jak szybko funkcja się zmienia w danym punkcie. Formalnie to granica ilorazu różnicowego $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$, a geometrycznie - współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w tym punkcie.

Reguły różniczkowania

Suma: $(f + g)' = f' + g'$. Iloczyn: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$. Iloraz: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$. Reguła łańcuchowa (złożenie): $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Po co druga pochodna

Druga pochodna $f''$ to pochodna pochodnej. Jej znak mówi o wypukłości: gdy $f'' \gt 0$, wykres jest wypukły (miska do góry), gdy $f'' \lt 0$ - wklęsły. Miejsca, w których $f''$ zmienia znak, to punkty przegięcia.

Ekstrema

Jeśli w punkcie $f'(x_0) = 0$ i pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, to jest tam maksimum lokalne; przy zmianie z ujemnej na dodatnią - minimum. Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza (np. $f(x) = x^3$ w zerze).

Wzory na pochodne funkcji Tablica pochodnych i reguł różniczkowania - do druku, za darmo

Kalkulator pochodnych

Kursy i zadania z pochodnych

Jak korzystać z kalkulatora pochodnych

Co to jest pochodna