Znając wykres jednej funkcji, można narysować całą rodzinę wykresów pokrewnych - bez liczenia pojedynczych punktów. Wystarczy rozpoznać, jakie przekształcenia zastosowano do funkcji bazowej. To podejście oszczędza mnóstwo pracy w zadaniach.
Przesunięcie poziome: $y = f(x - c)$
Wykres przesuwa się w prawo o $c$ (dla $c \gt 0$). Znak działa tu wbrew intuicji, bo zmiana dotyczy argumentu: żeby funkcja przyjęła tę samą wartość co wcześniej, trzeba podstawić $x$ większe o $c$. Zapis $f(x+3)$ przesuwa więc wykres w LEWO o $3$.
Przesunięcie pionowe: $y = f(x) + d$
Wykres przesuwa się w górę o $d$ (dla $d \gt 0$). Tutaj znak działa zgodnie z intuicją, bo zmieniamy bezpośrednio wartość funkcji, a nie argument.
Skalowanie i odbicie pionowe: $y = a \cdot f(x)$
Dla $|a| \gt 1$ wykres rozciąga się w pionie, dla $0 \lt |a| \lt 1$ ściska. Ujemne $a$ dokłada odbicie względem osi $OX$. Miejsca zerowe przy tym przekształceniu nie zmieniają położenia - zerowa wartość pomnożona przez cokolwiek dalej jest zerem.
Kolejność ma znaczenie
Przekształceń nie da się stosować w dowolnej kolejności. We wzorze $y = a \cdot f(x - c) + d$ działa się od środka na zewnątrz: najpierw przesunięcie poziome (dotyczy argumentu), potem skalowanie pionowe, a na końcu przesunięcie pionowe. Zamiana dwóch ostatnich kroków daje zupełnie inny wykres, bo mnożenie zadziałałoby także na $d$.
Symetrie
Dwa przekształcenia warto znać osobno: $y = -f(x)$ to odbicie względem osi $OX$, a $y = f(-x)$ to odbicie względem osi $OY$. Złożenie obu daje symetrię środkową względem początku układu.
Wartość bezwzględna - dwa różne przypadki
$y = |f(x)|$ odbija do góry tę część wykresu, która leżała pod osią $OX$ - reszta zostaje bez zmian. Natomiast $y = f(|x|)$ zostawia część wykresu dla $x \geq 0$ i odbija ją symetrycznie na lewą stronę, kasując to, co było tam wcześniej. To dwa zupełnie różne przekształcenia i mylenie ich jest częstym błędem.
