Funkcje trygonometryczne są okresowe, więc równanie trygonometryczne ma zwykle nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego odpowiedź podaje się wzorem ogólnym z parametrem całkowitym $k$, a dopiero potem - jeśli zadanie tego wymaga - wybiera się rozwiązania z konkretnego przedziału.
Równanie $\sin x = a$
Rozwiązania istnieją tylko dla $a \in \langle -1; 1 \rangle$. Wzór ogólny: $x = \arcsin a + 2k\pi$ lub $x = \pi - \arcsin a + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$. Dwie serie biorą się stąd, że w obrębie jednego okresu sinus przyjmuje daną wartość w dwóch miejscach - w pierwszej i drugiej ćwiartce dla $a$ dodatniego.
Równanie $\cos x = a$
Również wymaga $a \in \langle -1; 1 \rangle$. Wzór ogólny jest krótszy, bo cosinus jest funkcją parzystą: $x = \pm\arccos a + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$. Na kole jednostkowym widać, że rozwiązania leżą symetrycznie względem osi poziomej.
Równanie $\mathrm{tg}\, x = a$
Tutaj $a$ może być dowolną liczbą rzeczywistą, bo tangens przyjmuje wszystkie wartości. Wzór ogólny to $x = \mathrm{arctg}\, a + k\pi$ - jedna seria, ale z okresem $\pi$ zamiast $2\pi$, bo tangens powtarza się dwa razy częściej.
Wartości szczególne, które trzeba znać
Bez tablic warto pamiętać: $\sin \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}$, $\sin \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, a dla cosinusa te same wartości w odwrotnej kolejności. Większość zadań maturalnych opiera się właśnie na nich.
Równania złożone - trzy typowe drogi
Gdy równanie nie jest w postaci podstawowej, zwykle stosuje się jedną z trzech metod. Sprowadzenie do jednej funkcji przez jedynkę trygonometryczną $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Podstawienie, na przykład $t = \sin x$, które zamienia równanie w kwadratowe. Albo rozkład na czynniki - wtedy korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik.
Uwaga na dziedzinę
Przy tangensie trzeba pamiętać o założeniu $x \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi$, bo tam funkcja nie jest określona. Przy przekształcaniu równań łatwo też zgubić lub dorobić rozwiązania - dzielenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą wymaga osobnego sprawdzenia przypadku, gdy to wyrażenie jest zerem.
