Trzy długości boków wyznaczają trójkąt jednoznacznie - to cecha przystawania bok-bok-bok. Dlatego z samych $a$, $b$, $c$ da się policzyć wszystko inne: pole, wszystkie kąty, promienie okręgów. Nie potrzeba do tego żadnej wysokości ani kąta.
Nierówność trójkąta
Zanim cokolwiek policzymy, trzeba sprawdzić, czy taki trójkąt w ogóle istnieje. Warunek jest jeden: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Gdy jest równa - punkty leżą na jednej prostej i trójkąt się „spłaszcza"; gdy mniejsza - boki po prostu się nie zejdą.
Wzór Herona
$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu. Ten wzór liczy pole wyłącznie z długości boków - i właśnie dlatego jest tak wygodny, gdy nie znamy żadnej wysokości. Zauważ, że przy złamanej nierówności trójkąta jeden z czynników $(s-a)$, $(s-b)$, $(s-c)$ robi się ujemny i pierwiastek przestaje istnieć - wzór sam sygnalizuje, że figury nie ma.
Twierdzenie cosinusów
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ - uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt. Dla $\alpha = 90^\circ$ cosinus się zeruje i zostaje zwykłe $a^2 = b^2 + c^2$. Przekształcając wzór, wyliczamy kąt z boków: $\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Znak wyniku od razu zdradza rodzaj kąta - ujemny cosinus oznacza kąt rozwarty.
Klasyfikacja
Ze względu na boki: różnoboczny (wszystkie różne), równoramienny (dwa równe), równoboczny (wszystkie równe). Ze względu na kąty: ostrokątny (wszystkie kąty ostre), prostokątny (jeden prosty), rozwartokątny (jeden rozwarty). O rodzaju decyduje wyłącznie kąt największy, a ten zawsze leży naprzeciw najdłuższego boku.
Skrót bez liczenia kątów
Rodzaj trójkąta można rozpoznać samym porównaniem kwadratów, gdzie $c$ to bok najdłuższy: gdy $a^2 + b^2 = c^2$ - prostokątny, gdy $a^2 + b^2 \gt c^2$ - ostrokątny, a gdy $a^2 + b^2 \lt c^2$ - rozwartokątny. To po prostu twierdzenie cosinusów przepisane na znaki.
Inne wzory na pole
Wzór Herona to nie jedyna droga. Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, wygodniejsze jest $P = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$. Gdy znamy promień okręgu opisanego - $P = \dfrac{abc}{4R}$, a gdy wpisanego - $P = r \cdot s$. Wszystkie dają oczywiście ten sam wynik.
