Wektor to przesunięcie, a nie miejsce. Ma długość i kierunek ze zwrotem, ale nie ma ustalonego położenia - ten sam wektor $[3, 1]$ można narysować w dowolnym punkcie płaszczyzny. Dlatego dla wygody rysuje się go zaczepionego w początku układu, tak jak na planszy powyżej.
Współrzędne wektora
Wektor o początku $A = (x_A, y_A)$ i końcu $B = (x_B, y_B)$ ma współrzędne $\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$ - koniec minus początek. To najczęstsze miejsce na pomyłkę: odwrócenie kolejności daje wektor przeciwny.
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę
Działania wykonujemy po współrzędnych: $\vec{u} + \vec{v} = [u_x + v_x,\ u_y + v_y]$, analogicznie odejmowanie. Mnożenie przez liczbę $k$ daje $k\vec{u} = [k u_x,\ k u_y]$ - wektor $k$ razy dłuższy, o tym samym kierunku (dla $k \gt 0$) lub przeciwnym zwrocie (dla $k \lt 0$).
Długość wektora
$|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$ - znowu twierdzenie Pitagorasa, bo współrzędne wektora są przyprostokątnymi, a on sam przeciwprostokątną. Wektor o długości $1$ nazywamy jednostkowym; dowolny niezerowy wektor można na taki zamienić, dzieląc go przez własną długość.
Iloczyn skalarny
$\vec{u} \circ \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y$ - i uwaga, wynikiem jest liczba, nie wektor. Zachodzi też druga postać tego samego: $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$. Zestawienie obu wzorów pozwala wyliczyć kąt między wektorami: $\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
Prostopadłość i równoległość
Najważniejszy wniosek z iloczynu skalarnego: $\vec{u} \circ \vec{v} = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są prostopadłe (przy niezerowych wektorach), bo $\cos 90^\circ = 0$. Równoległość rozpoznajemy inaczej - po wyrażeniu $u_x v_y - u_y v_x$, które zeruje się dokładnie dla wektorów współliniowych. Można też powiedzieć, że wtedy jeden wektor jest wielokrotnością drugiego.
Znak iloczynu skalarnego
Sam znak niesie informację o kącie: dodatni oznacza kąt ostry, zero - prosty, ujemny - rozwarty. Wynika to wprost ze wzoru $|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$, bo obie długości są dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie cosinus.
