Liczby zespolone powstają przez dołożenie do liczb rzeczywistych jednostki urojonej $i$, dla której $i^2 = -1$. Dzięki temu równanie $x^2 = -1$ ma rozwiązanie, a każdy wielomian stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych.
Postać algebraiczna
Zapis $z = a + bi$, gdzie $a = \operatorname{Re} z$ to część rzeczywista, a $b = \operatorname{Im} z$ część urojona. Liczbę zespoloną można traktować jak punkt lub wektor na płaszczyźnie o współrzędnych $(a, b)$ - to właśnie płaszczyzna Gaussa.
Działania
Dodawanie i odejmowanie działa po współrzędnych. Mnożenie wykonuje się jak na nawiasach, pamiętając że $i^2 = -1$: $(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Dzielenie sprowadza się do mnożenia przez sprzężenie mianownika $\overline{z} = c - di$, co usuwa $i$ z mianownika.
Moduł i argument
Moduł $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ to odległość od zera, czyli długość wektora. Argument $\varphi$ to kąt między tym wektorem a dodatnią półosią rzeczywistą. Ta para jednoznacznie opisuje liczbę - to współrzędne biegunowe punktu.
Postać trygonometryczna
Zapis $z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ jest wygodny przy mnożeniu i potęgowaniu: przy mnożeniu moduły się mnożą, a argumenty dodają. Stąd wzór de Moivre'a $z^n = |z|^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi)$, którym liczy się wysokie potęgi bez rozwijania nawiasów.
