Wartość bezwzględna – „specjalny nawias”

Co to takiego wartość bezwzględna? Jak to „groźnie” brzmi…wrrrrr…. a to taki specjalny nawiasik 😊

Przekonajmy się na czym polega jego wyjątkowość… Zacznijmy od początku … Otóż próbując się nauczyć wartości bezwzględnej możemy do niej podejść geometrycznie jak i algebraicznie.

Definicja wartości bezwzględnej w ujęciu geometrycznym

Geometrycznie wartość bezwzględna z liczby to nic innego jak jej odległość od „magicznego” zera na osi liczbowej, tzn.

Spróbujmy na przykładzie, będzie może troszkę jaśniej…

Czyli po prostu odległość liczby $6$ od  $0$ na osi liczbowej wynosi 6 (jednostek, kratek jak wolisz😊), ale i  odległość liczby  $-6$ od $0$ na osi liczbowej wynosi $6$.  Zatem $|6|=6$ oraz $|-6|=6$, idąc dalej $|6|=|-6|$.

• I mamy pierwszą własność wartości bezwzględnej:

$|x|=|-x|$

Kolejna sprawa: $0$ jest odległe od „samego siebie😊” o $0$ (kratek, jednostek).

• No i jest druga własność:

 $|x|=0 \quad gdy \quad x=0$

Czy odległość pomiędzy dwoma punktami leżącymi na osi liczbowej może być ujemna? No oczywiście, że nie!!! Wyobraź sobie odległość pomiędzy Tobą, a Twoją koleżanką (bez zbędnych skojarzeń proszę😊), jakbyś nie liczył nie wyjdzie „na minusie”, może być zero (upsss), ale mniej nie będzie…

• No i mamy trzecią własność wartości bezwzględnej:

$|x| \geq 0$

No to teraz skoro wiemy już, że nie będzie ona nigdy ujemna to nie dziwi nas, że:

• Możemy napisać kolejną czwartą już własność: na przykładzie jaśniej:

$|x| \cdot |y|=|x \cdot y|$

$|-3|\cdot|2|=|-3 \cdot 2|$
$3 \cdot 2=|-6|$
$6=6$

• No i piąta własność w tym już momencie jest oczywista:

$\frac{|x|}{|y|}=\left | \frac{x}{y} \right |$

pamiętając o tym że $y \neq 0$
A na przykładzie?

$\frac{|-3|}{|2|}=\left | \frac{-3}{2} \right |$
$\frac{3}{2}=\left | – \frac{3}{2} \right |$
$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Masz ochotę na więcej własności???
Musisz poczekać na kolejny artykuł na moim blogu, tym razem z poziomu rozszerzonego. Tymczasem zerknij na inne artykułu na moim matematycznym blogu „AjkaMAT”

Definicja wartości bezwzględnej w ujęciu algebraicznym

Algebraiczna definicja wartości bezwzględnej może budzić kontrowersje przy budowie, ale to nic trudnego, zobaczmy zatem jak ją samemu stworzyć.

Otóż skoro dla naszej  $6$ wartość bezwzględna z niej to $6$, a dla naszej  $-6$ wartość bezwzględna z niej to też $6$ zatem spróbujmy to uogólnić:
Jeśli  $x \geq 0$ to $|x|=x$  (tak jak dla naszej 6),
a jeśli $x < 0$, to $|x|=-x$ (tak jak dla naszej $-6$ musieliśmy zmienić znak, czyli „zlikwidować minusa”).
Uwaga: Przed $x$ widzisz minusa, ale to nie oznacza, że jest to liczba ujemna, wręcz przeciwnie $-(-6)$ przecież wynosi $6$, ale tak może się zdarzyć zapamiętaj jedynie gdy $x<0$!!!

Zatem nie dziwi już fakt, że wartość bezwzględna może być zdefiniowana algebraicznie następująco:

$|x|=\left\{\begin{array}{lcl} x \quad dla \quad x \geq 0\\ -x \quad dla \quad x<0 \end{array} \right.$

Zapamiętaj!!!

Wartość bezwzględna to taki „specjalny nawias”, który dla liczby nieujemnej nic nie zmienia, a dla liczby ujemnej zmienia znak.

• Uwaga: żółtym kolorem oznaczyłam te informacje, które znajdziesz (dokładnie w takiej formie) w wybranych wzorach maturalnych (pobierz tutaj) – czyli tzw. niezbędniku każdego maturzysty na stronie 4.

• Niech ta nasza przykładowa $6$, będzie odzwierciedlać Twoją celującą wiedzę na maturze, przygotowując się do niej oczywiście z moimi materiałami!!!

• A teraz zobaczmy jakie zadania warto umieć rozwiązać, tzw. „Pewniaki AjkaMAT”

Rozwiążmy kilka przykładów aby lepiej zrozumieć temat wartości bezwzględnej

Przykład 1: Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej: $|5-2 \sqrt{3}| -2|\sqrt{3}-10|$
Rozwiązanie:

Przykład 2: Doprowadź do najprostszej postaci:  $W(x)=4|4-x|-|x-1|$  gdy $x \in (-\infty ; 1)$

Rozwiązanie:

Przykład 3:  Rozwiąż równanie: $|x+10|=16$

Rozwiązanie:

$|x+10|=16$
$x+10=16$ lub $x+10=-16$
$x=16-10$ lub $x=-16-10$
$x=6$ lub $x-26$
Odpowiedź: $x \in \{-26, 6\}$

Czas na zadania maturalne z wartości bezwzględnej

Zadanie 1: (Czerwiec matura CKE 2023/ zadanie 1/ 1pkt.)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność $|x+5|<15$ jest:
A. $9$                                     B. $10$                                   C. $20$                                   D. $21$

Rozwiązanie:  Sięgnij na mój kanał na YouTube – AjkaMAT aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania.

Zadanie 2: Oblicz wartość wyrażenia $G=5 \bigl| |a|-4\bigr|-2|a+2| \quad a=-1$ gdy

Rozwiązanie:  Odwiedź moją stronę internetową ajkamat.pl, zakup mój kurs online aby zobacz jak to obliczyć.

Zadanie 3:  Wykaż, że jeśli $x$  jest liczbą rzeczywistą ujemną, zaś  $y$ liczbą rzeczywistą dodatnią, wówczas prawdziwa jest równość:

$3x^2+|x-y|\cdot |4y-x|+3|xy|=4(x-y)^2$

Rozwiązanie:  Odwiedź moją stronę internetową ajkamat.pl, zakup mój kurs online i zobacz jak poprawnie przeprowadzić dowód postawionej tezy.