Wzory na całki nieoznaczone – szybka ściąga dla każdego studenta
Całki nieoznaczone to jedno z najważniejszych zagadnień w analizie matematycznej — pojawiają się na większości studiów technicznych i ekonomicznych. Aby sprawnie rozwiązywać zadania, warto mieć pod ręką zestaw najważniejszych wzorów na całki. W tym artykule znajdziesz przejrzyste zestawienie wzorów, które ułatwią Ci naukę i powtórkę przed kolokwium czy egzaminem.
Wzory na całki
- $\int dx=x+C $
- $ \int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ dla $n\neq 1$
- $ \int xdx=\frac{1}{2}x^{2}+C$
- $ \int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$
- $ \int a^xdx=\frac{a^x}{ln{a}}+C$
- $ \int e^xdx=e^x+C$
- $ \int sin{x}dx=-cos{x}+C$
- $ \int cos{x}dx=sin{x}+C$
- $ \int tg{x}dx=-ln|cosx|+C$
- $ \int ctgxdx=ln|sinx|+C$
- $ \int \frac{1}{cos^2x}dx=tgx+C$
- $ \int \frac{1}{sin^2x}dx=-ctgx+C$
- $ \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctg{\frac{x}{a}}+C$
- $ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\left | \frac{x-a}{x+a} \right |}+C$
- $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin{\frac{x}{a}}+C$
- $ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+q}}dx=ln{\left |x+\sqrt{x^2+q}\right |}+C$
- $\int f'(x)dx=f(x)+C$
- $ \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln{\left |f(x) \right |}+C$
UWAGA! Niektóre z powyższych wzorów zachodzą przy odpowiednich założeniach!
Własności całek
- $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+ \int g(x)dx$
- $\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx- \int g(x)dx$
- $\int a f(x)dx=a \int f(x)dx$
- $\int f(x) \cdot g'(x)dx=f(x) \cdot g(x)- \int f'(x)g(x)dx$
Przydatne wzory w liczeniu całek
- $\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}}$
- $\frac{1}{x^a}=x^{-a}$
Chcesz mieć wzory zawsze pod ręką?
Pobierz zestaw wzór do wydruku w PDF
Zobacz lekcje na moim kanale YouTube
