Wzory trygonometryczne – szybka ściąga dla każdego maturzysty i studenta
Trygonometria to jeden z kluczowych działów matematyki, który pojawia się zarówno w szkole średniej, jak i na studiach – zwłaszcza na kierunkach technicznych, ścisłych i ekonomicznych. Aby sprawnie radzić sobie z zadaniami, warto mieć pod ręką najważniejsze wzory trygonometryczne, które ułatwią obliczenia i skrócą czas rozwiązywania zadań.
W tym artykule znajdziesz przejrzyste zestawienie najważniejszych wzorów – idealne do szybkiej powtórki przed sprawdzianem, maturą, kolokwium czy egzaminem.
UWAGA! Niektóre z poniższych wzorów zachodzą przy odpowiednich założeniach.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
- $\sin^2{\alpha }+\cos^2{\alpha }=1$ – jedynka trygonometryczna
- $\text{tg }{\alpha}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
- $\text{ctg }{\alpha}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
- $\text{tg }{\alpha}\cdot \text{ctg }{\alpha}=1$
Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta
- $\sin{2\alpha }=2\sin{\alpha }\cos{\alpha }=\frac{2\ \text{tg}{\alpha }}{1 +\text{tg}^2{\alpha }}$
- $\cos{2\alpha }=\cos{^2\alpha }-\sin{^2\alpha}=2\cos^2\alpha-1$
- $\text{tg }{2\alpha}=\frac{2\text{tg }{\alpha}}{1-\text{tg}^2{\alpha}}=\frac{2}{\text{ctg} \alpha – \text{tg} \alpha}$
- $\text{ctg } 2\alpha=\frac{\text{ctg }^2{\alpha }-1}{2\text{ctg}\alpha}=\frac{\text{ctg} \alpha – \text{tg} \alpha }{2}$
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
- $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta + \sin\beta \cos\alpha$
- $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta – \sin\beta \cos\alpha$
- $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta −\sin\alpha \sin\beta $
- $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta $
- $\text{tg }(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha+\text{tg}\beta}{1−\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$
- $\text{tg }(\alpha−\beta)=\frac{\text{tg}\alpha−\text{tg}\beta}{1+\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$
- $\text{ctg }(\alpha+\beta)=\frac{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta−1}{\text{ctg}\beta+\text{ctg}\alpha}$
- $\text{ctg }(\alpha−\beta)=\frac{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta+1}{\text{ctg}\beta−\text{ctg}\alpha} $
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
- $\sin{\alpha }+\sin{\beta }=2\sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}$
- $\sin{\alpha }-\sin{\beta }=2\cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}\sin{\frac{\alpha -\beta }{2}}$
- $\cos{\alpha }+\cos{\beta }=2\cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}$
- $\cos{\alpha }-\cos{\beta }=-2\sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}\sin{\frac{\alpha -\beta }{2}}$
- $\text{tg }{\alpha }+\text{tg }{\beta }=\frac{\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}}{\cos{\alpha }\cos{\beta }}$
- $\text{tg }{\alpha }-\text{tg }{\beta }=\frac{\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}}{\cos{\alpha }\cos{\beta }}$
- $\text{ctg }{\alpha }+\text{ctg }{\beta }=\frac{\sin{\left ( \beta +\alpha \right )}}{\sin{\alpha }\sin{\beta }}$
- $\text{ctg }{\alpha }-\text{ctg }{\beta }=\frac{\sin{\left ( \beta -\alpha \right )}}{\sin{\alpha }\sin{\beta }}$
Iloczyny funkcji trygonometrycznych
- $\sin\alpha \cdot \sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)]$
- $\cos\alpha \cdot \cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$
- $\sin\alpha \cdot \cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha−\beta)+\sin(\alpha+\beta)]$
Wybrane wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych
- $\sin{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }$
- $\cos{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\sin{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\text{ctg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\text{tg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }$
- $\cos{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\sin{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\text{ctg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\text{tg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=\sin{\alpha }$
- $\cos{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\text{tg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\text{ctg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=-\sin{\alpha }$
- $\cos{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=\text{tg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=\text{ctg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }$
- $\cos{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\text{ctg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\text{tg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }$
- $\cos{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\text{ctg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\text{tg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }$
- $\cos{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\text{tg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\text{ctg }{\alpha }$
- $\sin{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }$
- $\cos{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }$
- $\text{tg }{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\text{tg }{\alpha }$
- $\text{ctg }{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\text{ctg }{\alpha }$
Tablica wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych
| $\alpha$ | $\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\text{tg } \alpha$ | $\text{ctg } \alpha$ |
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ | nie istnieje |
| $15^\circ$ | $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ | $2-\sqrt{3}$ | $2+\sqrt{3}$ |
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $75^\circ$ | $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ | $2+\sqrt{3}$ | $2-\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | nie istnieje | $0$ |
Chcesz mieć wzory zawsze pod ręką?
Pobierz zestaw wzór do wydruku w PDF
Zobacz lekcje na moim kanale YouTube
