Zadania maturalne z geometrii analitycznej – poziom rozszerzony
Cześć! Przygotowałam tu dla Ciebie starannie wyselekcjonowane zadania z arkuszy CKE z poziomu rozszerzonego. Bierzemy na warsztat to, co spędza sen z powiek wielu maturzystom: rozbudowane zadania z wektorami, skomplikowane równania okręgów, proste z parametrem oraz wyznaczanie pól figur w układzie współrzędnych. Na rozszerzeniu nie ma miejsca na zgadywanie – tu liczy się żelazna logika, precyzja w rachunkach i spryt. Skompletowałam ten zbiór specjalnie po to, żebyś przestał bać się analitycznych tasiemców, a zaczął w końcu zauważać genialne, powtarzalne algorytmy ukryte w tych zadaniach.
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym zadaniem ukryłam dla Ciebie gotową odpowiedź. Spróbuj zmierzyć się z tym przykładem całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem sprawdź, czy Twój tok myślenia zgadza się z moim! To najlepszy test Twojej analitycznej formy.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na jakimś zadaniu? Nie wiesz, jak sprytnie wykorzystać wektory, jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu, albo wyliczenia z odległości punktu od prostej uparcie się nie zgadzają? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online rozkładamy te trudne tematy na czynniki pierwsze. Tłumaczę krok po kroku zadania z tej bazy i przerabiamy mnóstwo innych, absolutnie kluczowych przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, to, co wydawało się czarną magią, stanie się w pełni logicznym ciągiem operacji!
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na rozszerzeniu? W sieci znajdziesz mnóstwo stron z suchymi rozwiązaniami, które przy tym poziomie po prostu nie działają. Samo przepisanie gotowych równań z ekranu nie nauczy Cię matematycznego myślenia, gdy na egzaminie pojawi się nowe, nieszablonowe zadanie w układzie współrzędnych! U mnie nie ma wkuwania na blachę. Stawiam na głębokie zrozumienie i totalnie ludzkie podejście. Tłumaczę zawiłe zagadnienia „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci, jak pewnie żonglować wzorami na wektory, podrzucę triki na błyskawiczne wyznaczanie równań prostych i odczaruję geometrię analityczną raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, zdobędziesz analityczną pewność siebie i zdasz tę maturę z wynikiem, który otworzy Ci drzwi na wymarzone studia.
Matura rozszerzona – Czerwiec 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 13.1. (0-2)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.
Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem $P(a) = \dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Pole trójkąta w układzie współrzędnych
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 2: Prosta w zadaniach
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 4: Pole trójkąta i pole wielokąta
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 13.2. (0-4)
Pole $P$ trójkąta $ABC$ jest określone wzorem $P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$ dla $a<0$.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Optymalizacja pola z nierówności AM-GM
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 29: Optymalizacja w geometrii analitycznej
Przejdź do lekcji
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 24: Zadania optymalizacyjne – część I
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 11. (0-6)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A=(-8,-1)$ i $D=(-13,9)$ oraz środku symetrii $M=\left(-\dfrac92, 1\right)$. Okrąg $\mathcal{O}$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki $AB$ i $BC$ tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $\mathcal{O}$ jest liczbą ujemną.
Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Okrąg styczny do dwóch prostych
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 3: Wykorzystanie odległości punktu od prostej w zadaniach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 20: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 8. (0-5)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_1: (x-1)^2+(y+3)^2=5$ oraz $\mathcal{O}_2: (x-2)^2+(y-4)^2=45$. Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2\cdot\overrightarrow{BM}$.
Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Przecięcie dwóch okręgów
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 8: Wzajemne położenie dwóch okręgów
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 10: Układy równań nieliniowych
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 3. (0-3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-4}$ dla $x\neq 4$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(x_0,5)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Styczna do wykresu funkcji wymiernej
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 28: Styczna do wykresu funkcji
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 35: A co było na maturze – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 11. (0-6)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^2-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$.
Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Przecięcie prostej z parabolą i równoległobok
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 10: Układy równań nieliniowych
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 4. (0-3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^3-3x+2}{x}$ dla $x\ne0$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Styczna do wykresu funkcji wymiernej
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 28: Styczna do wykresu funkcji
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 35: A co było na maturze – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 11. (0-5)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt5$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt5$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.
Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Styczne z punktu do okręgu
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 7: Wzajemne położenie okręgu i prostej
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 4. (0-3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2x^3 – 4x^2 + 9x$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Punkt $P = (x_0, 18)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Styczna do wykresu wielomianu
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 28: Styczna do wykresu funkcji
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 34: A co było na maturze – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 9. (0-4)
W okrąg o równaniu $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$ wpisano trójkąt $ABC$. Bok $AB$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4x – 3y + 2 = 0$. Wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ tak, że $|AD| = 4\cdot|DB|$.
Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Trójkąt wpisany w okrąg — średnica i wysokość
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 7: Wzajemne położenie okręgu i prostej
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 18: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 3. (0-3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{3x^2 – 2x}{x^2 + 2x + 8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P = (x_0, 3)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Styczna do wykresu funkcji wymiernej
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 28: Styczna do wykresu funkcji
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 34: A co było na maturze – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 13. (0-6)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x – y – 2 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = 4x^2 – 7x + 1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{3}$ (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu $C$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Okrąg na średnicy i kąt wpisany prosty
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 10: Układy równań nieliniowych
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 18: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
