Zadania maturalne z granic, ciągów i szeregów liczbowych – poziom rozszerzony
Cześć! PrzyCześć! Przygotowałam tu dla Ciebie starannie wyselekcjonowane zadania z arkuszy CKE z poziomu rozszerzonego. Bierzemy na warsztat to, co spędza sen z powiek wielu maturzystom: obliczanie skomplikowanych granic, badanie zbieżności ciągów oraz – prawdziwy klasyk rozszerzenia – nieskończone szeregi geometryczne. Na rozszerzeniu nie ma miejsca na zgadywanie – tu liczy się żelazna logika i spryt. Skompletowałam ten zbiór specjalnie po to, żebyś przestał bać się symboli nieoznaczonych, a zaczął w końcu zauważać genialne, powtarzalne algorytmy ukryte w tych zadaniach.
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym zadaniem ukryłam dla Ciebie gotową odpowiedź. Spróbuj zmierzyć się z tym przykładem całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem sprawdź, czy Twój tok myślenia zgadza się z moim! To najlepszy test Twojej analitycznej formy.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na jakimś zadaniu? Nie wiesz, jak sprytnie przekształcić ułamek przy liczeniu granicy, albo suma szeregu uparcie się nie zgadza? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online rozkładamy te trudne tematy na czynniki pierwsze. Tłumaczę krok po kroku zadania z tej bazy i przerabiamy mnóstwo innych, absolutnie kluczowych przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, to, co wydawało się czarną magią, stanie się w pełni logicznym ciągiem operacji!
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na rozszerzeniu? W sieci znajdziesz mnóstwo stron z suchymi rozwiązaniami, które przy tym poziomie po prostu nie działają. Samo przepisanie gotowych przekształceń z ekranu nie nauczy Cię matematycznego myślenia, gdy na egzaminie pojawi się nowe, nieszablonowe zadanie z ciągów czy szeregów! U mnie nie ma wkuwania na blachę. Stawiam na głębokie zrozumienie i totalnie ludzkie podejście. Tłumaczę zawiłe zagadnienia „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci, jak radzić sobie z nieskończonością, podrzucę triki na szybkie liczenie granic i odczaruję rozszerzenie raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, zdobędziesz analityczną pewność siebie i zdasz tę maturę z wynikiem, który otworzy Ci drzwi na wymarzone studia.
Gotowy na to wyzwanie? Lecimy z tematem!
Matura rozszerzona – Czerwiec 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 7. (0-4)
Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla $n\ge1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $14$. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu jest równa $392$.
Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Suma szeregu geometrycznego
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 12: Wprowadzenie szeregu geometrycznego
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 13: Szereg geometryczny w równaniach i nierównościach
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 8. (0-4)
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Jeżeli trzeci wyraz pomniejszymy o $4$ (pozostałe bez zmian), otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o $1$, otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz $x, y, z$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 5: Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 15: Powtórki maturalne
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\binom{n+2}{n-1}}{\frac{1}{2}n^3-4n+7}$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Granice ciągów z symbolem Newtona
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 2: Obliczanie granic ciągów liczbowych w postaci funkcji wymiernej
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 8: Obliczanie granic ciągów – część II
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 6. (0-4)
Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 5: Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 15: Powtórki maturalne
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 9. (0-5)
Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu $a_6 = 15$ oraz $a_{15} = a_3\cdot(a_8-6)$. Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest geometryczny i $b_1 = a_{11}$ oraz $b_2 = a_6$.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(b_n)$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Suma nieskończonego szeregu geometrycznego
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 5: Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 20: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 6. (0-4)
Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a_1^2+a_3^2=328$.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego — dwa przypadki
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 12: Wprowadzenie szeregu geometrycznego
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 21: A co było na maturze? – część VI
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 2. (0-2)
Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\dfrac{|x-3|}{x^2-9}$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Granice jednostronne z wartością bezwzględną
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 8: Granice jednostronne w punkcie
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 35: A co było na maturze – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 7. (0-4)
Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równa $16$. Ponadto $a_1+a_3=\dfrac{5}{2}\cdot a_2$.
Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Suma podciągu wyrazów nieparzystych
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 12: Wprowadzenie szeregu geometrycznego
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 20: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 2. (0-2)
Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} \dfrac{x^3-8}{(x-2)^2}$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Granice jednostronne funkcji wymiernej
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 8: Granice jednostronne w punkcie
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 35: A co było na maturze – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 7. (0-4)
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x, y$ oraz $z$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$.
Oblicz $x, y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ciąg geometryczny wewnątrz ciągu arytmetycznego
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 5: Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 20: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 7. (0-4)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny $2x – \dfrac{6x}{x-1} + \dfrac{18x}{(x-1)^2} – \dfrac{54x}{(x-1)^3} + \ldots$
Wyznacz wszystkie wartości $x$ (różne od $0$ i $1$), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\dfrac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Suma nieskończonego szeregu geometrycznego z parametrem
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 13: Szereg geometryczny w równaniach i nierównościach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 11. (0-5)
Ciąg $(a, b, c)$ jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg $(2a, 2b, c+1)$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek $c – b = 6$.
Oblicz $a$, $b$ oraz $c$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ciąg geometryczny powiązany z arytmetycznym
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 5: Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 10. (0-4)
Określamy kwadraty $K_1, K_2, K_3, \dots$: $K_1$ ma bok długości $a$; każdy kolejny $K_n$ ($n\ge2$) ma wierzchołki na bokach $K_{n-1}$, dzieląc je w stosunku $1:3$. Obwody wszystkich kwadratów tworzą nieskończony ciąg geometryczny (zobacz rysunek).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Nieskończony szereg geometryczny — kwadraty wpisane
📘 Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 14: Szereg geometryczny w zadaniach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VI – Ciągi liczbowe, lekcja 19: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
