Zadania maturalne z planimetrii – poziom rozszerzony
Cześć! Przygotowałam tu dla Ciebie starannie wyselekcjonowane zadania z arkuszy CKE z poziomu rozszerzonego. Bierzemy na warsztat to, co spędza sen z powiek wielu maturzystom: skomplikowane właściwości okręgów i wielokątów, twierdzenia sinusów i cosinusów oraz – prawdziwego bossa rozszerzenia – zaawansowane dowody geometryczne. Na rozszerzeniu nie ma miejsca na zgadywanie – tu liczy się żelazna logika, spostrzegawczość i spryt. Skompletowałam ten zbiór specjalnie po to, żebyś przestał bać się geometrii płaskiej, a zaczął w końcu zauważać genialne, powtarzalne schematy ukryte w tych zadaniach.
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym zadaniem ukryłam dla Ciebie gotową odpowiedź. Spróbuj zmierzyć się z tym przykładem całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem sprawdź, czy Twój tok myślenia zgadza się z moim! To najlepszy test Twojej analitycznej formy.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na jakimś zadaniu? Nie wiesz, gdzie poprowadzić odcinek pomocniczy, z jakiego twierdzenia skorzystać w dowodzie, albo proporcje z podobieństwa trójkątów uparcie się nie zgadzają? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online rozkładamy te trudne tematy na czynniki pierwsze. Tłumaczę krok po kroku zadania z tej bazy i przerabiamy mnóstwo innych, absolutnie kluczowych przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, to, co wydawało się czarną magią, stanie się w pełni logicznym ciągiem operacji!
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na rozszerzeniu? W sieci znajdziesz mnóstwo stron z suchymi rozwiązaniami, które przy tym poziomie po prostu nie działają. Samo przepisanie gotowego dowodu z ekranu nie nauczy Cię matematycznego myślenia, gdy na egzaminie pojawi się zupełnie nowa figura! U mnie nie ma wkuwania na blachę. Stawiam na głębokie zrozumienie i totalnie ludzkie podejście. Tłumaczę zawiłe zagadnienia „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci, jak planować kolejne kroki w dowodach, podrzucę triki na to, jak sprytnie dorysowywać linie pomocnicze i odczaruję geometrię raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, zdobędziesz analityczną pewność siebie i zdasz tę maturę z wynikiem, który otworzy Ci drzwi na wymarzone studia.
Matura rozszerzona – Czerwiec 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 5. (0-3)
Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Prosta $p$ jest prostopadła do boku $BC$ i przecina ten bok w punkcie $L$. Ta prosta przecina wysokość $CD$ w punkcie $K$ oraz przecina bok $AC$ w punkcie różnym od $A$.
Wykaż, że $|\angle CAK| = |\angle KDL|$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Kąty wpisane i okrąg opisany na czworokącie
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 8: Okrąg opisany na czworokącie
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 13: Dowodzenie w planimetrii – część I
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 9. (0-4)
Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe $18$. Boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe, $|AB|=4$, $|BC|=7$.
Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Czworokąt wpisany w okrąg
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 8: Okrąg opisany na czworokącie
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 12: Pole dowolnego czworokąta
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 4. (0-3)
Punkty $K$ i $L$ są środkami – odpowiednio – boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że $|PQ|=\dfrac{\sqrt5}{5}a$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Geometria analityczna w dowodach planimetrycznych
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 14: Dowodzenie w planimetrii – część II
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 12: Równoległość i prostopadłość wektorów
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 9. (0-5)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$.
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 2: Prosta w zadaniach
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 13: Równoległość i prostopadłość prostych w postaciach ogólnych
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 11. (0-6)
W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\angle BAD|=60°$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).
Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Czworokąt jednocześnie wpisany i opisany
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 11: Rozwiązywanie zadań z okręgami wpisanymi bądź opisanymi na czworokątach
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 2: Twierdzenie cosinusów
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 4. (0-3)
Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB| = 2\cdot|AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – $K$, $L$, $M$ oraz $N$. Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.
Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy $16$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Podobieństwo trójkątów i twierdzenie Talesa
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 5: Rozwiązywanie zadań z trójkątami, w tym podobieństwo trójkątów
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 24: A co było na maturze? – część VI
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 7. (0-4)
Na czworokącie wypukłym $ABCD$ o bokach długości: $|AB|=3$, $|BC|=3$, $|CD|=5$ oraz $|DA|=8$, opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Czworokąt wpisany w okrąg i twierdzenie sinusów
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 8: Okrąg opisany na czworokącie
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 24: A co było na maturze? – część VI
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 3. (0-3)
W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 4: Pole trójkąta, okręgi wpisane i opisane na trójkątach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 24: A co było na maturze? – część VI
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 7. (0-4)
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac{1}{2}$.
Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{1}{5}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Trapez — pole a stosunek podstaw
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 16: Geometria czworokąta – zadania różne
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 24: A co było na maturze? – część VI
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 6. (0-3)
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $b$, przy czym $a>b$. W ten trapez można wpisać okrąg.
Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a\cdot b$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Trapez z okręgiem wpisanym
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 9: Okrąg wpisany w czworokąt – część I
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 23: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 8. (0-4)
W okrąg o promieniu $4$ wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa $6$. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Twierdzenie sinusów i cosinusów w trójkącie wpisanym
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 1: Twierdzenie sinusów
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 23: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 8. (0-4)
Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.
Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek $|AC|^2 = |BC|^2 + |AB|\cdot|BC|$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Twierdzenie o dwusiecznej i podobieństwo trójkątów
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 5: Rozwiązywanie zadań z trójkątami, w tym podobieństwo trójkątów
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XIII – Geometria analityczna, lekcja 20: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 9. (0-4)
Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).
Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Środek ciężkości trójkąta i pola figur
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 15: Geometria trójkąta – zadania różne
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 23: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 6. (0-3)
Dany jest okrąg $\mathcal{O}$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli $|AQ| = 5\cdot|BP|$ oraz $|CD| = 2\cdot|BD|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Odcinki styczne z jednego punktu
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 7: Twierdzenie o stycznej i siecznej
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 21: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 12. (0-5)
Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $4$. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste (zobacz rysunek). Przekątne $AC$ i $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, że $|BE| = 3\cdot|DE|$ oraz $|BD| = 2\cdot|AE|$.
Oblicz długości boków czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Czworokąt wpisany z dwoma kątami prostymi
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 8: Okrąg opisany na czworokącie
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 22: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 5. (0-3)
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC| = 90°$ oraz $|\angle CAB| = 60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK| = |BL| = 1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD| = 2$.
Wykaż, że $|ND| = \sqrt{3} + 1$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Trójkąt prostokątny 30-60-90 i pola trójkątów
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 4: Pole trójkąta, okręgi wpisane i opisane na trójkątach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 21: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 8. (0-4)
Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC| = 4$ i $|CD| = 5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60°$, natomiast z bokiem $AB$ – kąt ostry, którego sinus jest równy $\dfrac14$.
Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Czworokąt opisany na okręgu i twierdzenie sinusów
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 9: Okrąg wpisany w czworokąt – część I
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XI – Planimetria, lekcja 22: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
