Zadania maturalne z analizy: Pochodne, Styczne i Optymalizacja – poziom rozszerzony
Cześć! Przygotowałam tu dla Ciebie starannie wyselekcjonowane zadania z arkuszy CKE z poziomu rozszerzonego. Bierzemy na warsztat to, co spędza sen z powiek wielu maturzystom: obliczanie pochodnych, wyznaczanie równań stycznych do wykresu oraz – prawdziwą królową rozszerzenia – zadania optymalizacyjne. Na rozszerzeniu nie ma miejsca na zgadywanie – tu liczy się żelazna logika i spryt. Skompletowałam ten zbiór specjalnie po to, żebyś przestał bać się szukania ekstremów, a zaczął w końcu zauważać genialne, powtarzalne algorytmy ukryte w tych zadaniach.
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym zadaniem ukryłam dla Ciebie gotową odpowiedź. Spróbuj zmierzyć się z tym przykładem całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem sprawdź, czy Twój tok myślenia zgadza się z moim! To najlepszy test Twojej analitycznej formy.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na jakimś zadaniu? Nie wiesz, jak ułożyć funkcję celu, albo wynik pochodnej uparcie się nie zgadza? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online rozkładamy te trudne tematy na czynniki pierwsze. Tłumaczę krok po kroku zadania z tej bazy i przerabiamy mnóstwo innych, absolutnie kluczowych przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, to, co wydawało się czarną magią, stanie się w pełni logicznym ciągiem operacji!
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na rozszerzeniu? W sieci znajdziesz mnóstwo stron z suchymi rozwiązaniami, które przy tym poziomie po prostu nie działają. Samo przepisanie gotowego układu równań z ekranu nie nauczy Cię matematycznego myślenia, gdy na egzaminie pojawi się nowe, nieszablonowe zadanie z optymalizacji! U mnie nie ma wkuwania na blachę. Stawiam na głębokie zrozumienie i totalnie ludzkie podejście. Tłumaczę zawiłe zagadnienia „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci, jak wyznaczać równanie stycznej, podrzucę niezawodne triki na budowanie modeli matematycznych w zadaniach optymalizacyjnych i odczaruję rozszerzenie raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, zdobędziesz analityczną pewność siebie i zdasz tę maturę z wynikiem, który otworzy Ci drzwi na wymarzone studia.
Gotowy na to wyzwanie? Lecimy z tematem!
Matura rozszerzona – Czerwiec 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 3. (0-3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{ax^2+x}{x-1}$ dla $x\neq 1$, gdzie $a$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których pochodna funkcji $f$ w punkcie $x=a$ jest równa $\left(-\dfrac{1}{2}a\right)$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Pochodna funkcji wymiernej
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 13: Obliczanie pochodnej ilorazu funkcji
Przejdź do lekcji
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 11: Obliczanie pochodnej funkcji – wstęp
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 13.2. (0-4)
Pole $P$ trójkąta $ABC$ jest określone wzorem $P(a)=\dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$ dla $a<0$.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Optymalizacja pola z nierówności AM-GM
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 29: Optymalizacja w geometrii analitycznej
Przejdź do lekcji
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 24: Zadania optymalizacyjne – część I
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 12.1. (0-3)
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, styczna do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole $P$ (w m²) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Trójkąt opisany na okręgu — wyprowadzenie wzoru
📘 Kurs XI – Planimetria, lekcja 4: Pole trójkąta, okręgi wpisane i opisane na trójkątach
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VIII – Funkcje trygonometryczne, lekcja 11: Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 12.2. (0-4)
Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$ dla $x\in(4,10]$.
Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Optymalizacja pola funkcją wymierną
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 24: Zadania optymalizacyjne – część I
Przejdź do lekcji
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 25: Zadania optymalizacyjne – część II
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 12.1. (0-2)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt3$.
Wykaż, że objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem $V(a) = 6a – \dfrac18 a^3$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Graniastosłup prawidłowy — wyprowadzenie objętości
📘 Kurs XII – Stereometria, lekcja 12: Powtórki maturalne – część I
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XII – Stereometria, lekcja 1: Graniastosłupy proste, które nie są prawidłowe
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 12.2. (0-4)
Objętość $V$ graniastosłupa jest określona wzorem $V(a) = 6a – \dfrac18 a^3$ dla $a \in (0, 4\sqrt3)$.
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ekstremum objętości graniastosłupa
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 24: Zadania optymalizacyjne – część I
Przejdź do lekcji
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 18: Ekstrema funkcji
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 12.1. (0-2)
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.
Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $V(h) = \dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Stożek — wyprowadzenie objętości
📘 Kurs XII – Stereometria, lekcja 8: Bryły obrotowe w zadaniach
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XII – Stereometria, lekcja 18: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 12.2. (0-4)
Objętość $V$ stożka jest określona wzorem $V(h) = \dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$ dla $h \in (5, +\infty)$.
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Minimalizacja objętości stożka
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 25: Zadania optymalizacyjne – część II
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XII – Stereometria, lekcja 18: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 13.1. (0-2)
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa $6$.
Wykaż, że objętość $V$ każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie jest określona wzorem $V(R)=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot(6R^2-R^3)$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ostrosłup — wyprowadzenie objętości z parametru R
📘 Kurs XII – Stereometria, lekcja 13: Powtórki maturalne – część II
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XII – Stereometria, lekcja 18: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 13.2. (0-4)
Objętość $V$ ostrosłupa jest określona wzorem $V(R)=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot(6R^2-R^3)$ dla $R\in(0,6)$.
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Maksymalizacja objętości ostrosłupa
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 24: Zadania optymalizacyjne – część I
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XII – Stereometria, lekcja 18: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 13.1. (0-2)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt3$.
Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określone wzorem $P(a) = \dfrac{a^2\cdot\sqrt3}{2} + \dfrac{13824\sqrt3}{a}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Graniastosłup — wyprowadzenie pola całkowitego
📘 Kurs XII – Stereometria, lekcja 12: Powtórki maturalne – część I
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XII – Stereometria, lekcja 18: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 13.2. (0-4)
Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa jest określone wzorem $P(a) = \dfrac{a^2\cdot\sqrt3}{2} + \dfrac{13824\sqrt3}{a}$ dla $a \in (0, 8\sqrt3]$.
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Minimalizacja pola powierzchni na przedziale domkniętym
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 17: Monotoniczność funkcji
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs XII – Stereometria, lekcja 18: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 13. (0-6)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $ABCDEFGH$, w których odcinek łączący punkt $O$ przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ podstawy $ABCD$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $EFGH$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).
a) Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od jego wysokości $h$ i podaj dziedzinę funkcji $V(h)$.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Graniastosłup — optymalizacja objętości
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 24: Zadania optymalizacyjne – część I
Przejdź do lekcji
📘 Kurs XII – Stereometria, lekcja 12: Powtórki maturalne – część I
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 12.1. (0-2)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 81^{\log_3 x} + \dfrac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2 – 6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$.
Wykaż, że powyższe wyrażenie można równoważnie przekształcić do postaci $x^4 + x^2 – 6x$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Upraszczanie wyrażeń logarytmicznych
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 6: Logarytm i jego własności
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 16: A co było na maturze? – część II
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 12.2. (0-4)
Funkcję $f$ można przedstawić w postaci $f(x) = x^4+x^2-6x$ dla $x>0$.
Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ekstremum funkcji wielomianowej
📘 Kurs IX – Analiza matematyczna, lekcja 18: Ekstrema funkcji
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 16: A co było na maturze? – część II
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
