Zadania maturalne z algebry: Dowody, Wartość bezwzględna i Logarytmy – poziom rozszerzony
Cześć! Przygotowałam tu dla Ciebie starannie wyselekcjonowane zadania z arkuszy CKE z poziomu rozszerzonego. Bierzemy na warsztat to, co spędza sen z powiek wielu maturzystom: dowody algebraiczne, rozbudowane równania i nierówności z wartością bezwzględną oraz zaawansowane logarytmy. Na rozszerzeniu nie ma miejsca na zgadywanie – tu liczy się żelazna logika i spryt. Skompletowałam ten zbiór specjalnie po to, żebyś przestał bać się dowodzenia, a zaczął w końcu zauważać genialne, powtarzalne algorytmy ukryte w tych zadaniach.
Jak mądrze wycisnąć z tej bazy maksa?
- Sprawdzaj się w praktyce: Pod każdym zadaniem ukryłam dla Ciebie gotową odpowiedź. Spróbuj zmierzyć się z tym przykładem całkowicie samodzielnie, a potem jednym kliknięciem sprawdź, czy Twój tok myślenia zgadza się z moim! To najlepszy test Twojej analitycznej formy.
- Rozbrajaj schematy: Utknąłeś na jakimś dowodzie? Nie wiesz, jak rozbić moduły na przedziały i wynik uparcie się nie zgadza? Bez paniki! Pod każdym zadaniem znajdziesz bezpośrednie odesłanie do konkretnej, dedykowanej lekcji w moim kursie.
- Ucz się ze mną z wideo od A do Z: W pełnym kursie online rozkładamy te trudne tematy na czynniki pierwsze. Tłumaczę krok po kroku zadania z tej bazy i przerabiamy mnóstwo innych, absolutnie kluczowych przykładów. Gwarantuję Ci, że po obejrzeniu moich lekcji, to, co wydawało się czarną magią, stanie się w pełni logicznym ciągiem operacji!
Dlaczego AjkaMAT to Twoja tajna broń na rozszerzeniu? W sieci znajdziesz mnóstwo stron z suchymi rozwiązaniami, które przy tym poziomie po prostu nie działają. Samo przepisanie gotowego dowodu z ekranu nie nauczy Cię matematycznego myślenia, gdy na egzaminie pojawi się nowe, nieszablonowe zadanie! U mnie nie ma wkuwania na blachę. Stawiam na głębokie zrozumienie i totalnie ludzkie podejście. Tłumaczę zawiłe zagadnienia „z matematycznego na nasze” w dynamicznych wideo-lekcjach. Pokażę Ci, jak planować kolejne kroki w dowodach, podrzucę triki na sprytne rozwijanie logarytmów i odczaruję rozszerzenie raz na zawsze! Zrozumiesz tu całą mechanikę, zdobędziesz analityczną pewność siebie i zdasz tę maturę z wynikiem, który otworzy Ci drzwi na wymarzone studia.
Gotowy na to wyzwanie? Lecimy z tematem!
Matura rozszerzona – Czerwiec 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
Dane są liczby rzeczywiste $a$ oraz $b$: $a = 16^{\frac{1}{2}\log_4 36 – 2\log_4 3}$, $b = \log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$.
Oblicz wartość ilorazu $\dfrac{a}{2b}$. Wynik zapisz w postaci $3^{k}$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 6: Logarytm i jego własności
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 14: Powtórki maturalne – logarytmy
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 4. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $xy+x+y \le x^2+y^2+1$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie nierówności metodą sumy kwadratów
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 16: Nietypowe zadania z równań i nierówności na maturze
Przejdź do lekcji
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 14: Dowodzenie twierdzeń z algebry
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2026
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 3. (0-3)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie nierówności — suma sześcianów
📘 Kurs V – Funkcja wymierna, lekcja 7: Dowodzenie z ułamkami algebraicznymi
Przejdź do lekcji
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 5: Wzory skróconego mnożenia
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 5. (0-4)
Rozwiąż nierówność $|2x-6|-|x^2-9|<0$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Nierówności z wartością bezwzględną
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 4: Nierówności z wartością bezwzględną – część II
Przejdź do lekcji
📘 Kurs III – Funkcja kwadratowa, lekcja 14: Nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 2. (0-3)
Wykaż, że jeżeli $a = \log_2 14$ oraz $b = \log_{\sqrt{2}} 27$, to $\log_7 54 = \dfrac{b+2}{2a-2}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Zamiana podstawy logarytmu
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 6: Logarytm i jego własności
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 14: Powtórki maturalne – logarytmy
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2025
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $N(t) = N_0 \cdot k^t$ dla $t \geq 0$. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10\,000$, a po dwóch godzinach była równa $15\,625$.
Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Funkcja wykładnicza — wzrost procentowy
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 13: Powtórki maturalne – funkcja wykładnicza
Przejdź do lekcji
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 17: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 2. (0-3)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \neq \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność $(a+2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie nierówności — rozkład na czynniki
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 5: Wzory skróconego mnożenia
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 21: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 5. (0-4)
Rozwiąż nierówność $|x-2| – 2\cdot|x+3| < -2$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Nierówności z wartością bezwzględną
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 4: Nierówności z wartością bezwzględną – część II
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 21: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
W chwili początkowej ($t = 0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. Masa $m$ związku A zmieniała się zgodnie z zależnością $m(t) = a \cdot 2^{-0,05\cdot t} + b$ dla $t \geq 0$. Masa początkowa była równa $m_0$ gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi masa tego związku była równa $\frac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach przereagowało $87,5\%$ masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Funkcja wykładnicza — stan równowagi
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 3: Rozwiązywanie równań wykładniczych
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 17: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 5. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $a+b=1$, prawdziwa jest nierówność $\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{a+2b}\geq\dfrac{4}{3}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie nierówności — kwadrat wyrażenia
📘 Kurs V – Funkcja wymierna, lekcja 7: Dowodzenie z ułamkami algebraicznymi
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 21: A co było na maturze? – część V
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2024
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
W chwili początkowej ($t = 0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80°C$. Temperatura w pokoju jest stała i równa $20°C$. Temperatura $T$ kawy zmienia się zgodnie z zależnością $T(t) = (T_p – T_z) \cdot k^{-t} + T_z$ dla $t \geq 0$. Po $10$ minutach kawa ostygła do temperatury $65°C$.
Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Funkcja wykładnicza — prawo stygnięcia
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 13: Powtórki maturalne – funkcja wykładnicza
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 17: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 5. (0-3)
Wykaż, że jeżeli $\log_5 4 = a$ oraz $\log_4 3 = b$, to $\log_{12}80 = \dfrac{2a+1}{a\cdot(1+b)}$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Zamiana podstawy logarytmu — dowód tożsamości
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 6: Logarytm i jego własności
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 17: A co było na maturze? – część III
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Czerwiec 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
Dane są liczby $a = 4^{\log_2 45}$ oraz $b = \dfrac{\log_3 2023}{\log_9 2023}$.
Oblicz $a – b$. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 6: Logarytm i jego własności
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 16: A co było na maturze? – część II
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 5. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność $a^2 + \dfrac{16}{a} \geq 12$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie nierówności — faktoryzacja wielomianu
📘 Kurs V – Funkcja wymierna, lekcja 7: Dowodzenie z ułamkami algebraicznymi
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 20: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Matura rozszerzona – Maj 2023
(Sprawdź swoją wiedzę…)
Zadanie 1. (0-2)
W chwili początkowej ($t = 0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach.
Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama. Zapisz obliczenia.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Ciąg geometryczny w modelu rozpadu
📘 Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 13: Powtórki maturalne – funkcja wykładnicza
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs VII – Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, lekcja 16: A co było na maturze? – część II
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 4. (0-3)
Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x + y = 4$ i nierówność $x^3 – x^2y \leq xy^2 – y^3$.
Wykaż, że $x = 2$ oraz $y = 2$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Dowodzenie równości z nierówności i warunku
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 5: Wzory skróconego mnożenia
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 20: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż nierówność $\sqrt{x^2+4x+4} < \dfrac{25}{3} - \sqrt{x^2-6x+9}$. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2} = |a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.
Naucz się rozwiązywać to zadanie z moim kursem
Nierówności z pierwiastkiem z kwadratu
📘 Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 4: Nierówności z wartością bezwzględną – część II
Przejdź do lekcji
⭐ To zadanie rozwiązuję krok po kroku w lekcji
Kurs I – Algebra i arytmetyka, lekcja 20: A co było na maturze? – część IV
Przejdź do lekcji
Nie masz jeszcze kursu? DOŁĄCZ TERAZ
