Równania różniczkowe i ich zastosowania

Wiele zagadnień z dziedziny matematyki przyprawia przy pierwszym kontakcie o prawdziwy zawrót głowy. Nie inaczej jest w przypadku równań różniczkowych, którymi niekiedy straszy się adeptów matematyki. Czym są one w istocie i dlaczego nie warto się ich bać? Zachęcam  do zapoznania się z teoretycznym wymiarem równań różniczkowych.

Choć równania różniczkowe wraz z mnóstwem fantazyjnych symboli matematycznych mogą wyglądać dość onieśmielająco, kryjąca się za nimi idea jest dość prosta. Określają one bowiem, jak zmiana (zwana różniczką) jednej zmiennej wpływa na inne zmienne w równaniu. W związku z tym omawiane równania to pewnego rodzaju równania funkcyjne. Równania, w których niewiadomą jest funkcja (w równaniach różniczkowych niewiadoma funkcja występuje pod znakiem pochodnej).

Klasyfikacja równań różniczkowych

Nie da się ukryć, że przyglądając się rozmaitym równaniom, nie sposób nie próbować zaliczać je do określonych grup. Tego rodzaju systematyzacja ma istotne znaczenie w pracy nad równaniami. Umożliwia nam stosowanie technik rozwiązywania konkretnych równań dedykowanych różnym grupom klasyfikacji. Dzięki temu można radzić sobie z równaniami różniczkowymi efektywniej. Na przykład przekształcając równanie jednego typu w równoważne innego typu, celem skorzystania z łatwiejszych technik rozwiązywania.

Równania różniczkowe mogą być cząstkowe lub zwyczajne. W przypadku gdy niewiadoma jest funkcją jednej zmiennej, mamy do czynienia z równaniem różniczkowym zwyczajnym. Z kolei, kiedy równanie różniczkowe ma nieskończony zbiór zmiennych (dwie lub więcej zmiennych niezależnych) określa się je cząstkowym.

Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej szukanej funkcji, która występuje w tym równaniu. Symbole prim (′), bis (″) i ter (‴) oznaczają kolejne pochodne, w związku z czym x′ to pierwsza pochodna, a x′′ to druga pochodna. Na tej podstawie wyróżniamy równania różniczkowe pierwszego, drugiego bądź trzeciego rzędu.

Innym aspektem, w którego zakresie klasyfikujemy równania różniczkowe, jest to, czy są liniowe, czy nieliniowe. Rozpatrując równania różniczkowe – są one liniowe, gdy zmienne i ich pochodne są mnożone tylko przez stałe oraz występują w pierwszej potędze.

Równania różniczkowe w praktyce

Równania różniczkowe, będące ważną częścią matematyki, wyróżniają się wszechstronnym zastosowaniem. Doskonale sprawdzają się do rozważania mnóstwa zagadnień, a większość modeli matematycznych jest opisywana właśnie dzięki nim. Dzięki temu są obecne w różnych naukach – fizyce, chemii, biologii czy medycynie. Równania, o których mówimy pozwalają określić współczynnik kierunkowy stycznej, prędkość zmiany funkcji w czasie, a ponadto przydają się, chociażby podczas prowadzenia badań nad populacją.

Matematyka na studiach daje Ci się we znaki? Postaw na profesjonalny kurs matematyczny AjkaMAT, dzięki któremu opanujesz równania różniczkowe na piątkę! Nie wiesz czy warto uczyć się ze mną? Wejdź na mój kanał YouTube i zacznij przygodę z matematyką wyższą razem ze mną…